中学受験の算数でニュートン算が苦手な原因は？増える量と減る量を図で整理する方法

ニュートン算は、行列や牧草、貯水槽など「ある量が増え続ける一方で、別の力によって減っていく」状況を扱う特殊算です。式だけを覚えようとすると条件が少し変わっただけで混乱しますが、考える量は多くありません。最初にある量、一定時間ごとに増える量、一定時間ごとに減らす量の三つを同じ単位で整理すれば、解法の筋道が見えてきます。

この記事では、ニュートン算が苦手になる原因と、線分図や表を使って式を立てる手順を具体例とともに解説します。

ニュートン算で混乱しやすい三つの原因

「最初の量」を書かずに計算を始めている

ニュートン算では、時間の経過とともに増減する量だけでなく、開始時点ですでに存在する量を忘れてはいけません。たとえば窓口が開く前に30人が並んでいるなら、その30人が最初の量です。ここを書かずに「1分に何人増えるか」だけを考えると、式の左右が合わなくなります。

増える速さと減る速さを混同している

行列には新しい人が加わり、窓口では人が処理されます。どちらも「1分あたり何人」という単位ですが、行列に対する働きは反対です。増える量と減る量を同じ列に書かず、別々に整理することが大切です。

人数や台数が増えると処理量も増えることを見落としている

窓口が1か所から3か所になれば、1分あたりの処理量も3倍になります。牛が1頭から5頭になれば、1日あたりに食べる草の量も5倍です。1人分、1台分、1頭分の働きを求め、それに個数を掛ける考え方が必要です。

ニュートン算の基本式

ニュートン算の中心となる関係は次のとおりです。

最初の量＋1分あたりに増える量×時間＝1分あたりに減らす量×時間

右辺の「減らす量」が人や機械の数に比例する場合は、次のように分けます。

最初の量＋増加量×時間＝1人あたりの処理量×人数×時間

公式として丸暗記するより、「終わるまでに用意された総量」と「終わるまでに処理した総量」が等しい、と理解する方が応用しやすくなります。

図と表で整理する四つの手順

手順1 時間の単位をそろえる

「1分あたり」と「10分間」が混在しているなら、どちらかにそろえます。分と時間、日と週が混ざったまま計算しないことが、最初のミス防止になります。

手順2 三つの量を書き出す

余白に「最初」「増える」「減らす」と書き、問題文の数字を分類します。まだ式にしなくても構いません。どの数字がどの役割かを決めるだけで、文章題の見通しがよくなります。

手順3 条件ごとに総量の式を作る

窓口の数や作業する人数が異なる二つの条件が与えられたら、それぞれについて「最初の量＋増加量×時間＝処理量」を作ります。二つの式に共通する量を見つけると、未知数を順番に求められます。

手順4 答えを元の状況で確かめる

求めた増加量や処理量を問題文の別の条件に戻し、時間どおりに終わるかを確認します。単位と増減の向きを見直せば、計算途中の符号ミスにも気づけます。

具体例で解き方を確認しよう

開店時に30人が並んでいる店に、その後も1分あたり4人ずつ新しい客が来るとします。窓口1か所では1分あたり3人を受け付けます。

窓口を3か所開けた場合、1分あたりの処理量は3×3＝9人です。一方、4人が新たに並ぶため、行列は実質的に1分あたり9－4＝5人ずつ減ります。最初の30人がいなくなるまでの時間は、30÷5＝6分です。

基本式で確かめると、6分間に並ぶ人は30＋4×6＝54人です。窓口が処理する人も3×3×6＝54人となり、左右が一致します。

窓口を2か所にすると、処理量は1分あたり6人です。新たに4人が並ぶので、行列は実質1分あたり2人しか減りません。30÷2＝15分かかります。窓口が一つ減っただけでも、終わるまでの時間は大きく変わることがわかります。

線分図を使うときのポイント

線分図には、開始時の量を一本の線で表し、その右側に時間とともに増えた量を付け足します。全体を「その時間に処理した量」として囲めば、どの量とどの量が等しいかが視覚的にわかります。

• 最初の量は線分の左側に固定して書く
• 増える量は「1分あたり×時間」で付け足す
• 処理量は「1人あたり×人数×時間」で全体を表す
• 単位を線分図の横に必ず書く

図をきれいに描くことが目的ではありません。増える側と減らす側を分け、式の意味を自分で説明できる図になっていれば十分です。

家庭学習での練習方法

同じ問題を数字だけ変えて解く

一度解けた問題について、最初の量や人数を変えた類題を解きます。解法を言葉で説明しながら取り組むと、式の形ではなく量の関係が身につきます。

答えより先に三つの量を分類する

すぐに計算を始めず、「最初」「増える」「減らす」を書くことを毎回の約束にします。分類が正しければ、計算が複雑でも途中で立て直せます。

仕事算との違いを確認する

仕事算は、基本的には一定の仕事量を複数人で処理する問題です。ニュートン算では、処理中にも全体量が増える点が異なります。「作業中に仕事が増えるか」を確認すると、どちらの考え方を使うべきか判断しやすくなります。

ニュートン算を得点源にするために

ニュートン算は、公式の数が多い単元ではありません。苦手の原因は、複数の変化を頭の中だけで扱おうとすることにあります。最初の量、増える量、減らす量を図や表に分け、同じ単位で式にする習慣をつけましょう。

一問ごとに「何が最初からあり、何が増え、誰がどれだけ減らすのか」を説明できれば、行列、牧草、貯水槽など題材が変わっても対応できます。

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