開成・灘・筑駒レベル 算数解説
問題4｜三角形の面積比
△ABR と四角形PCRQの面積比を求める
△ABR と四角形PCRQの面積比を求める
📝 問題
底辺BCが12cmの三角形ABCがあります。
辺BC上に点Pを、BP：PC＝1：2 となるように取ります。
辺AC上に点Qを、AQ：QC＝2：1 となるように取ります。
線分APとBQの交点をRとします。
三角形ABRと四角形PCRQの面積比を求めなさい。
【図をここに挿入】
△ABC、点P（BC上）、点Q（AC上）、交点R（AP∩BQ）
△ABC、点P（BC上）、点Q（AC上）、交点R（AP∩BQ）
📖 通常解説
STEP 1｜△ABCの面積を文字で置く
まず、△ABCの面積を S とおきます。
具体的な数値（底辺12cm）が与えられていますが、高さが不明なので、「全体をSと置いて比で管理する」方が計算が速くなります。これが開成レベルの基本姿勢です。
STEP 2｜点Pの位置から△ABPの面積を求める
BP：PC＝1：2 なので、BC全体を3とすると BP＝1、PC＝2 です。
△ABPと△ABCは、頂点Aを共有し、底辺がBP・BCにある三角形です。
高さ（Aから直線BCへの垂線）が共通なので、面積比＝底辺の比 になります。
△ABP ／ △ABC ＝ BP ／ BC ＝ 1 ／ 3
よって △ABP ＝ S × (1/3) ＝ S/3
高さ（Aから直線BCへの垂線）が共通なので、面積比＝底辺の比 になります。
△ABP ／ △ABC ＝ BP ／ BC ＝ 1 ／ 3
よって △ABP ＝ S × (1/3) ＝ S/3
STEP 3｜点Qの位置から△ABQの面積を求める
AQ：QC＝2：1 なので、AC全体を3とすると AQ＝2、QC＝1 です。
△ABQと△ABCは、頂点Bを共有し、底辺がAQ・ACにある三角形です。
高さ（Bから直線ACへの垂線）が共通なので、面積比＝底辺の比 になります。
△ABQ ／ △ABC ＝ AQ ／ AC ＝ 2 ／ 3
よって △ABQ ＝ S × (2/3) ＝ 2S/3
高さ（Bから直線ACへの垂線）が共通なので、面積比＝底辺の比 になります。
△ABQ ／ △ABC ＝ AQ ／ AC ＝ 2 ／ 3
よって △ABQ ＝ S × (2/3) ＝ 2S/3
STEP 4｜交点Rの位置を「チェバの定理」的な比で求める
交点Rは「APとBQの交点」です。Rがどこにあるかを面積比で特定します。
ここで使うのが「三角形の中に交点を作る比の問題」の定番手法です。
AR：RPを求める（AからPへの線分上でRがどこか）
△ABRと△BPRを考えます。
この2つは底辺をAP方向に持ち、頂点Bを共有しています。
別の見方をすると：
△ABP全体を「AR：RP」で分けた形が△ABRと△BRP です。
一方、△ABRと△BRPの比は、△ABQ から△BRQを引いた残り方でも求まります。
ここで「等底三角形の比」を使います。
△ABR と △BRP は、底辺AR・RPを持ち高さ共通（Bからの距離）
⇒ △ABR ／ △BRP ＝ AR ／ RP
また、BQをまたぐ形で：
△ABR ／ △APR の比は 頂点BとPからの高さの比となる。
整理しましょう。△ABPの中に交点Rがあります：
△ABR + △ARB = △ABP ではなく、△ABP = △ABR + △BRP です。
Rの位置を求めるには「三角形の面積の比較」が最もシンプル
△ABQ ＝ 2S/3（求済）
△ABQ ＝ △ABR + △ARQ … ①
△ABP ＝ S/3（求済）
△ABP ＝ △ABR + △BRP … ②
ここで△ARQ と△BRP を別の方法で求めます。
△ABRと△BPRを考えます。
この2つは底辺をAP方向に持ち、頂点Bを共有しています。
別の見方をすると：
△ABP全体を「AR：RP」で分けた形が△ABRと△BRP です。
一方、△ABRと△BRPの比は、△ABQ から△BRQを引いた残り方でも求まります。
ここで「等底三角形の比」を使います。
△ABR と △BRP は、底辺AR・RPを持ち高さ共通（Bからの距離）
⇒ △ABR ／ △BRP ＝ AR ／ RP
また、BQをまたぐ形で：
△ABR ／ △APR の比は 頂点BとPからの高さの比となる。
整理しましょう。△ABPの中に交点Rがあります：
△ABR + △ARB = △ABP ではなく、△ABP = △ABR + △BRP です。
Rの位置を求めるには「三角形の面積の比較」が最もシンプル
△ABQ ＝ 2S/3（求済）
△ABQ ＝ △ABR + △ARQ … ①
△ABP ＝ S/3（求済）
△ABP ＝ △ABR + △BRP … ②
ここで△ARQ と△BRP を別の方法で求めます。
STEP 5｜AR：RPを面積比から求める【核心部分】
△ABR の面積をxとおく
・△ABPの中でRはAP上にある：AR：RP の比をa：b とする
・△ABR と △BRP は共通の頂点Bを持ち、底辺AR・RPが同一直線上
⇒ △ABR ／ △BRP ＝ AR ／ RP ＝ a ／ b
・△ABQ の中でRはBQ上にある：BR：RQ の比をc：d とする
・△ABR と △ARQ は共通の頂点Aを持ち、底辺BR・RQが同一直線上
⇒ △ABR ／ △ARQ ＝ BR ／ RQ ＝ c ／ d
・△ABPの中でRはAP上にある：AR：RP の比をa：b とする
・△ABR と △BRP は共通の頂点Bを持ち、底辺AR・RPが同一直線上
⇒ △ABR ／ △BRP ＝ AR ／ RP ＝ a ／ b
・△ABQ の中でRはBQ上にある：BR：RQ の比をc：d とする
・△ABR と △ARQ は共通の頂点Aを持ち、底辺BR・RQが同一直線上
⇒ △ABR ／ △ARQ ＝ BR ／ RQ ＝ c ／ d
ここが本問最大のポイントです。「等底三角形を2方向から使う」という技法です。
【AR：RPを求める】
△ABR と △PBR（同じAP上でRを挟む）は頂点B共通・高さ共通
⇒ △ABR ／ △PBR ＝ AR ／ RP
また △ABR と △PBR の和 ＝ △ABP ＝ S/3
一方、△ABRと△PBRは BQの左右 でも考えられる。
△PBR は △PBQ（底辺BQを持つ）の一部。
△PBQ：頂点Pから底辺BCとして見ると、
△PBQ ／ △ABQ ＝ BP ／ BA … これは高さが変わるため直接使えない。
✦ 正しい求め方：面積方程式を立てる
△ABC ＝ S とおく
△ABP ＝ S/3、△ABQ ＝ 2S/3
AR：RP ＝ m：(1-m) と置く（AP全体を1とする）
△ABR ＝ △ABP × m ＝ (S/3) × m … ③
BR：RQ ＝ n：(1-n) と置く（BQ全体を1とする）
△ABR ＝ △ABQ × n ＝ (2S/3) × n … ④
③＝④より：
(S/3) × m ＝ (2S/3) × n
⇒ m ＝ 2n … ⑤
△ABR と △PBR（同じAP上でRを挟む）は頂点B共通・高さ共通
⇒ △ABR ／ △PBR ＝ AR ／ RP
また △ABR と △PBR の和 ＝ △ABP ＝ S/3
一方、△ABRと△PBRは BQの左右 でも考えられる。
△PBR は △PBQ（底辺BQを持つ）の一部。
△PBQ：頂点Pから底辺BCとして見ると、
△PBQ ／ △ABQ ＝ BP ／ BA … これは高さが変わるため直接使えない。
✦ 正しい求め方：面積方程式を立てる
△ABC ＝ S とおく
△ABP ＝ S/3、△ABQ ＝ 2S/3
AR：RP ＝ m：(1-m) と置く（AP全体を1とする）
△ABR ＝ △ABP × m ＝ (S/3) × m … ③
BR：RQ ＝ n：(1-n) と置く（BQ全体を1とする）
△ABR ＝ △ABQ × n ＝ (2S/3) × n … ④
③＝④より：
(S/3) × m ＝ (2S/3) × n
⇒ m ＝ 2n … ⑤
STEP 6｜△APCとBQ交点の関係からもう1式を立てる
今度は△APC（頂点A、底辺PC）に注目します。
PC：BC ＝ 2：3 なので
△APC ＝ S × (2/3) ＝ 2S/3
△APC の中に点R（BQとAPの交点）と点Q（ACの2/3の点）があります。
△AQR（△APC の一部）を考えます。
△AQR ＝ △APC × (AR/AP) × (AQ/AC)… これは面積の掛け算で使う公式です。
✦ △APQ から考える
△APQ：Aを頂点とし、底辺PQ。AQ：QC＝2：1より △APQ と △CPQ の高さ比を使う。
△APQ ／ △APC ＝ AQ ／ AC ＝ 2／3
よって △APQ ＝ (2S/3) × (2/3) ＝ 4S/9
RはBQ上でBR：RQ＝n：(1-n) だから、
△APR ／ △APQ ＝ AR…
✦ 別の切り口：△BPC から式を立てる
△BPC ＝ S × (PC/BC) ＝ S × (2/3) ＝ 2S/3
△BPC の内部に R はない（RはAP上なのでPCより上）ので、ここでは使わない。
✦ 正攻法：△BPR と全体から求める
△BPR ＝ △ABP – △ABR ＝ S/3 – (S/3)m … ⑥
△BPQ（頂点B、底辺PQ を囲む三角形）の面積を求める。
△BPQ ＝ △ABC – △ABQ – △APC + △AQP…
（より直接的に）
△BPC ＝ 2S/3（底辺PC＝2/3 BC）
△BPC の中で QはAC上。△BPQ ／ △BPC ＝ QCを底辺とみたとき
ここで確実な方法へ切り替えます。
PC：BC ＝ 2：3 なので
△APC ＝ S × (2/3) ＝ 2S/3
△APC の中に点R（BQとAPの交点）と点Q（ACの2/3の点）があります。
△AQR（△APC の一部）を考えます。
△AQR ＝ △APC × (AR/AP) × (AQ/AC)… これは面積の掛け算で使う公式です。
✦ △APQ から考える
△APQ：Aを頂点とし、底辺PQ。AQ：QC＝2：1より △APQ と △CPQ の高さ比を使う。
△APQ ／ △APC ＝ AQ ／ AC ＝ 2／3
よって △APQ ＝ (2S/3) × (2/3) ＝ 4S/9
RはBQ上でBR：RQ＝n：(1-n) だから、
△APR ／ △APQ ＝ AR…
✦ 別の切り口：△BPC から式を立てる
△BPC ＝ S × (PC/BC) ＝ S × (2/3) ＝ 2S/3
△BPC の内部に R はない（RはAP上なのでPCより上）ので、ここでは使わない。
✦ 正攻法：△BPR と全体から求める
△BPR ＝ △ABP – △ABR ＝ S/3 – (S/3)m … ⑥
△BPQ（頂点B、底辺PQ を囲む三角形）の面積を求める。
△BPQ ＝ △ABC – △ABQ – △APC + △AQP…
（より直接的に）
△BPC ＝ 2S/3（底辺PC＝2/3 BC）
△BPC の中で QはAC上。△BPQ ／ △BPC ＝ QCを底辺とみたとき
ここで確実な方法へ切り替えます。
STEP 6（確定版）｜チェバの定理で比を一発決定
チェバの定理を使います（小学校範囲外ですが開成では使える）。
△ABCの内部の点Rに対して、
頂点A・B・Cからの3本のセビアン（頂点と対辺上の点を結ぶ線）が1点Rで交わるとき：
（BP／PC）×（CQ／QA）×（AR’／R’B）＝ 1
本問ではセビアンはAP（AからBC上P）とBQ（BからAC上Q）の2本だけ。
3本目は CR（CからAB上の点）。
チェバより：
(BP/PC) × (CQ/QA) × (AB’/B’A) ＝ 1
(1/2) × (1/2) × x ＝ 1
x ＝ 4
これはABの分点B’（AB上）：AB’：B’B ＝ 4：1 を意味しますが、
今回Rを直接求めるにはチェバより面積の方が直接的です。
△ABCの内部の点Rに対して、
頂点A・B・Cからの3本のセビアン（頂点と対辺上の点を結ぶ線）が1点Rで交わるとき：
（BP／PC）×（CQ／QA）×（AR’／R’B）＝ 1
本問ではセビアンはAP（AからBC上P）とBQ（BからAC上Q）の2本だけ。
3本目は CR（CからAB上の点）。
チェバより：
(BP/PC) × (CQ/QA) × (AB’/B’A) ＝ 1
(1/2) × (1/2) × x ＝ 1
x ＝ 4
これはABの分点B’（AB上）：AB’：B’B ＝ 4：1 を意味しますが、
今回Rを直接求めるにはチェバより面積の方が直接的です。
STEP 6（最終）｜AR：RPを面積方程式で確定させる
△ABCの面積をSとする。
AR：RP ＝ t：(1-t) とおく（AP ＝ 1 として）
△ABR ＝ △ABP × t ＝ (S/3) × t …①
次に BR：RQ を求めるため、△ABRを別方向から表す。
BR：RQ ＝ u：(1-u) とおく（BQ ＝ 1 として）
△ABR ＝ △ABQ × u ＝ (2S/3) × u …②
①＝②より：(S/3)t ＝ (2S/3)u ⇒ t ＝ 2u …③
もう1本の方程式を△BPC から作る。
△BPR ＝ △BPC × （RPをBC方向の分割として見た比）
ここで使う：△QPR について。
△QPR と △QPA は AP 上に R があり、頂点Q 共通。
△QPR ／ △QPA ＝ PR ／ PA ＝ (1-t)
△QPA ＝ △BQA × (AP成分)… これが複雑になる。
✦ シンプルな方程式：△PCRQの面積を2通りで表す
四角形PCRQ ＝ △APC – △ARQ
△APC ＝ 2S/3
△ARQ ＝ △ABQ × (1-u) × （AR/AB成分）… ここも複雑。
✦ 決定打：△APCの中の△AQRを面積比で求める
△AQR ／ △APQ ＝ AR ／ AP ＝ t
△APQ ＝ △APC × (AQ/AC) ＝ (2S/3) × (2/3) ＝ 4S/9
よって △AQR ＝ 4S/9 × t …④
また △AQR と △BQR（BQ上でRを挟む）：
△AQR ／ △BQR ＝ RQ ／ RQ → これは同じ底辺なのでAとBの高さ比になる。
別の表し方：
△AQR ＝ △ABQ × (RQ/BQ) ＝ (2S/3) × (1-u) …⑤
④＝⑤より：
4S/9 × t ＝ (2S/3) × (1-u)
4t/9 ＝ 2(1-u)/3
4t ＝ 6(1-u)
2t ＝ 3(1-u) …⑥
③より t ＝ 2u を⑥に代入：
2(2u) ＝ 3(1-u)
4u ＝ 3 – 3u
7u ＝ 3
u ＝ 3/7
③より t ＝ 2u ＝ 6/7
AR：RP ＝ t：(1-t) とおく（AP ＝ 1 として）
△ABR ＝ △ABP × t ＝ (S/3) × t …①
次に BR：RQ を求めるため、△ABRを別方向から表す。
BR：RQ ＝ u：(1-u) とおく（BQ ＝ 1 として）
△ABR ＝ △ABQ × u ＝ (2S/3) × u …②
①＝②より：(S/3)t ＝ (2S/3)u ⇒ t ＝ 2u …③
もう1本の方程式を△BPC から作る。
△BPR ＝ △BPC × （RPをBC方向の分割として見た比）
ここで使う：△QPR について。
△QPR と △QPA は AP 上に R があり、頂点Q 共通。
△QPR ／ △QPA ＝ PR ／ PA ＝ (1-t)
△QPA ＝ △BQA × (AP成分)… これが複雑になる。
✦ シンプルな方程式：△PCRQの面積を2通りで表す
四角形PCRQ ＝ △APC – △ARQ
△APC ＝ 2S/3
△ARQ ＝ △ABQ × (1-u) × （AR/AB成分）… ここも複雑。
✦ 決定打：△APCの中の△AQRを面積比で求める
△AQR ／ △APQ ＝ AR ／ AP ＝ t
△APQ ＝ △APC × (AQ/AC) ＝ (2S/3) × (2/3) ＝ 4S/9
よって △AQR ＝ 4S/9 × t …④
また △AQR と △BQR（BQ上でRを挟む）：
△AQR ／ △BQR ＝ RQ ／ RQ → これは同じ底辺なのでAとBの高さ比になる。
別の表し方：
△AQR ＝ △ABQ × (RQ/BQ) ＝ (2S/3) × (1-u) …⑤
④＝⑤より：
4S/9 × t ＝ (2S/3) × (1-u)
4t/9 ＝ 2(1-u)/3
4t ＝ 6(1-u)
2t ＝ 3(1-u) …⑥
③より t ＝ 2u を⑥に代入：
2(2u) ＝ 3(1-u)
4u ＝ 3 – 3u
7u ＝ 3
u ＝ 3/7
③より t ＝ 2u ＝ 6/7
STEP 7｜△ABRの面積を求める
△ABR ＝ △ABP × t ＝ (S/3) × (6/7) ＝ 2S/7
STEP 8｜四角形PCRQの面積を求める
△ABC全体から、各部分を引く。
△ABC ＝ △ABR + △BRP + △ARQ + 四角形PCRQ
△BRP ＝ △ABP – △ABR ＝ S/3 – 2S/7 ＝ 7S/21 – 6S/21 ＝ S/21
△ARQ ＝ (2S/3) × (1-u) ＝ (2S/3) × (4/7) ＝ 8S/21
確認：△ABR + △BRP + △ARQ
＝ 2S/7 + S/21 + 8S/21
＝ 6S/21 + S/21 + 8S/21
＝ 15S/21 ＝ 5S/7
四角形PCRQ ＝ S – 5S/7 ＝ 2S/7
△ABC ＝ △ABR + △BRP + △ARQ + 四角形PCRQ
△BRP ＝ △ABP – △ABR ＝ S/3 – 2S/7 ＝ 7S/21 – 6S/21 ＝ S/21
△ARQ ＝ (2S/3) × (1-u) ＝ (2S/3) × (4/7) ＝ 8S/21
確認：△ABR + △BRP + △ARQ
＝ 2S/7 + S/21 + 8S/21
＝ 6S/21 + S/21 + 8S/21
＝ 15S/21 ＝ 5S/7
四角形PCRQ ＝ S – 5S/7 ＝ 2S/7
STEP 9｜面積比を求める
△ABR ： 四角形PCRQ
＝ 2S/7 ： 2S/7
＝ 1 ： 1
＝ 2S/7 ： 2S/7
＝ 1 ： 1
▶ 答え
△ABR ： 四角形PCRQ ＝ 1 ： 1
🧠 初見での考え方｜開成受験生の思考実況
問題を見た瞬間から、開成合格者の頭の中ではこう動きます。
-
「面積比の問題だ」と単元を特定する 「三角形の面積比を求めなさい」という問いに加え、BP：PC、AQ：QCという「辺の比」が与えられている。
→ これは面積比＋交点の位置の問題。「チェバ・メネラウス系」か「面積比の方程式系」と即断する。 -
「何を求めたいか」を確認する △ABR と 四角形PCRQ の面積比。交点Rが絡む面積。
→ Rの位置（AR：RPとBR：RQ）が分かれば全部求まる。「Rの位置特定が主目標」と設定する。 -
△ABCの面積をSとおく（数値より比で管理） 底辺12cmの高さが不明。具体的数値で進めようとすると行き詰まる。
→ 即座に「S（全体）」で置く。全体をSとおくのが交点問題の基本。 -
まず「既知の三角形」を求めて足場を固める BP：PC＝1：2 → △ABP ＝ S/3 がすぐ求まる。
AQ：QC＝2：1 → △ABQ ＝ 2S/3 がすぐ求まる。
→ これが「基準の足場」。Rの位置はこの2つから決まる。 -
「△ABRを2方向から表せる」ことに気づく △ABRは：
・「APの分割比 t」を使えば = △ABP × t
・「BQの分割比 u」を使えば = △ABQ × u
→ 同じ面積を2通りで表す → 方程式が作れる！これが核心。 -
もう1本の方程式を「△AQR」で作る △AQRも同様に2通りで表せる。
・APの比（t）から: △APQ × t
・BQの比（u）から: △ABQ × (1-u)
→ 連立してt, uが求まる。
💡 開成受験生の直感：「交点問題は、同じ三角形を2方向から表せ」。これを知っているかどうかで、初見対応力が変わる。
🔍 なぜその方針を選ぶのか
別の考え方ではなぜ苦しいか
❌ 座標で求めようとする場合
A・B・Cに座標を設定し、P・Q・Rを求めることも可能です。しかし高さが未知なので座標設定が複雑になります。A＝(0,h)、B＝(0,0)、C＝(12,0)などと設定すれば解けますが、計算量が多く、ミスのリスクが上がります。時間制限のある入試では不利。
❌ 直接「面積の差し引き」だけで求めようとする場合
△ABR の面積をいきなり引き算で求めようとしても、Rの位置が分からないと計算できません。「交点Rの位置特定」というステップを省略することはできない。
✅ なぜ「面積方程式」が有効か
△ABRという同一の三角形を2方向（AP方向・BQ方向）から表せることが、この問題の構造上の特徴です。「1つのものを2通りで表せる」状況が見えたとき、それが方程式を立てるチャンス。開成受験生はこの「2方向から見る」目を持っている必要があります。
なぜ「比で見るか」
底辺12cmという具体的な数値があるにもかかわらず、高さが与えられていません。「高さが分からない」のに面積を求めようとすると、必ず詰まります。
そこで「高さが分からなくても、同じ高さを持つ三角形同士の比は出る」という性質を使います。面積比は「底辺の比だけ」で決まる場合が多く、比で管理することで高さを消去できます。
なぜSと置いて全体管理するか
答えが「面積比」なので、最終的にSは消えます。ならば最初からSで置いて、全部の面積をSの倍数で管理する方が、余計な計算をせずに済みます。「最終的に消える文字は最初から使いやすい形で置く」—これが開成レベルの処理速度の源です。
⚠️ 典型ミス
ミス①｜BP：PC＝1：2を逆にする
△ABPの面積を「S × 2/3」と計算してしまう。PCの方が大きいのに、BPをBC全体の2/3と誤読する。
なぜ起こるか：「BP：PC＝1：2」と書かれているのに、「Pは真ん中よりC寄り」という位置関係を図で確認せずに進めてしまうから。図を必ず描いて位置を確認する習慣が必要。
ミス②｜AQ：QC＝2：1を「Qは中点より遠い」と混乱する
AQ：QC＝2：1なので△ABQ ＝ S × (2/3)。ここをQC：AC ＝ 1/3 と使ってしまい△CBQの計算に混乱する。
なぜ起こるか：「頂点と対辺の比」を意識せず機械的に比を当てはめるから。「△ABQの底辺はAQ（頂点B側）か、QC（残り）か」を意識的に確認すること。
ミス③｜AR：RPの求め方でt=AR/APと定義を曖昧にする
tをAR/APと置くつもりが、途中でRP/APと混在してしまい、式が崩壊する。
なぜ起こるか：変数を置くときに「何のどの部分か」を明示せずに進めるから。「t ＝ AR/AP（Aから数えてどのくらいか）」と言葉で定義してから計算を始める習慣が必要。
ミス④｜四角形PCRQの面積を「△PCR + △CRQ」に分けて求めようとする
四角形を無理に三角形2つに分けようとするが、分割の仕方を誤る。
なぜ起こるか：「全体から引く」という発想を持っていないから。△ABC – （他の3つの三角形）＝ 四角形PCRQ という引き算の発想の方がはるかにシンプルで速い。
ミス⑤｜「1：1になるはずがない」と答えを疑って計算をやり直す
面積比が1：1という「きれいな答え」を、計算ミスと思い込んで時間を浪費する。
なぜ起こるか：入試で「きれいな答えが出たら正しい可能性が高い」という感覚がないから。開成の問題は整数比や単純な分数で答えが出るよう設計されていることが多い。「美しい答えを信頼する」ことも実力のうち。
💡 別解
別解①｜チェバの定理でAR：RPを一発で求める
チェバの定理：△ABCの頂点A・B・Cから対辺上の点P・Q・（AB上のD）に向かう3本のセビアンが1点で交わる条件：
(BP/PC) × (CQ/QA) × (AD/DB) ＝ 1
本問：BP/PC ＝ 1/2、CQ/QA ＝ 1/2
(1/2) × (1/2) × (AD/DB) ＝ 1
AD/DB ＝ 4
ここからAR：RPも求められますが、手順が増えます。
本番では面積方程式の方が直接的。
(BP/PC) × (CQ/QA) × (AD/DB) ＝ 1
本問：BP/PC ＝ 1/2、CQ/QA ＝ 1/2
(1/2) × (1/2) × (AD/DB) ＝ 1
AD/DB ＝ 4
ここからAR：RPも求められますが、手順が増えます。
本番では面積方程式の方が直接的。
別解②｜メネラウスの定理で交点比を求める
△ABCに直線BQ（延長）を入れてメネラウスを適用し、AR：RPを求めることができます。
△APC に直線BQR を通す：
(AR/RP) × (PB’/B’C) × (CQ/QA) ＝ 1
（B’はAB延長とBQの交点）…条件設定が複雑になるため割愛。
メネラウスより面積方程式の方がシンプル。
△APC に直線BQR を通す：
(AR/RP) × (PB’/B’C) × (CQ/QA) ＝ 1
（B’はAB延長とBQの交点）…条件設定が複雑になるため割愛。
メネラウスより面積方程式の方がシンプル。
別解③｜面積比の「全体引き算」を先に利用する
△ABR ＝ 2S/7（確定）
四角形PCRQ ＝ S – △ABR – △BRP – △ARQ
△BRP ＝ △ABP – △ABR ＝ S/3 – 2S/7 ＝ S/21
△ARQ ＝ △ABQ × (RQ/BQ) ＝ (2S/3) × (1 – 3/7) ＝ (2S/3) × (4/7) ＝ 8S/21
合計引く：2S/7 + S/21 + 8S/21 ＝ 6S/21 + S/21 + 8S/21 ＝ 15S/21 ＝ 5S/7
四角形PCRQ ＝ S – 5S/7 ＝ 2S/7
四角形PCRQ ＝ S – △ABR – △BRP – △ARQ
△BRP ＝ △ABP – △ABR ＝ S/3 – 2S/7 ＝ S/21
△ARQ ＝ △ABQ × (RQ/BQ) ＝ (2S/3) × (1 – 3/7) ＝ (2S/3) × (4/7) ＝ 8S/21
合計引く：2S/7 + S/21 + 8S/21 ＝ 6S/21 + S/21 + 8S/21 ＝ 15S/21 ＝ 5S/7
四角形PCRQ ＝ S – 5S/7 ＝ 2S/7
🏆 本番おすすめ解法：「△ABCをSと置く → △ABP・△ABQを求める → △ABRを2方向の方程式で求める → 引き算で四角形PCRQ」。計算量・ミスともに最小。
🎯 開成で差がつくポイント
この問題で見られている力
「辺の比 → 面積比」の変換だけでなく、交点Rという「未知の位置」を面積方程式によって決定できるかが問われています。これは単純な公式適用ではなく、「何を変数として置き、どの2本の式を連立するか」という方針設定力そのものを測っています。
合格者はどう整理するか
①全体をSで置く → ②既知の△を求めて足場を作る → ③「△ABRを2方向で表せる」ことを発見する → ④t・uで連立 → ⑤引き算で完成。「既知→未知」の流れが自然につながる。答えが1：1という美しい値なので、検算しやすい。
不合格者はどこで止まるか
①Rの位置特定が必要だと気づかない、②「AR：RPを求めるにはどうすればいいか」の方針が立たない、③連立すべき2本の方程式のうち1本しか作れない。「1つの三角形を2方向から見る」発想が出てこないのが最大の壁。
開成特有の思考ポイント
開成の算数は「答えを出す」だけでなく、「どのような設定でどの式を立てるか」という思考プロセスが問われます。部分点のある記述問題でも「方針が正しければ部分点が取れる」構造になっています。まず全体戦略を立てて、計算に入る。この習慣が合否を分けます。
📌 この問題から学ぶべきこと
この問題の本質
「辺の比が与えられた三角形の交点問題」は、「同じ三角形を2方向の底辺・高さで表せる」という面積の多義性を使います。この技法は1つの答え。問題の構造を見て「どの三角形が2通りに表せるか」を即座に見抜けることが、開成レベルの初見対応力です。
他問題への応用
・3本以上の線分の交点が絡む複雑な図形 → 同じ発想で複数の方程式を立てる
・「平行四辺形の内部の点」「台形の対角線の交点」→ 同様に面積方程式が有効
・速さ・時間の比例問題でも「2通りで表せる量を等置する」は共通の戦略
今後どう活かすか
交点問題を見たら反射的に：
① 全体をSで置く
② 既知の足場を作る
③ 同一三角形を2方向で表す
④ 連立して解く
⑤ 引き算で仕上げ
このフローを「反射」で出せるまで練習する。開成の問題は「知っている型を使う」のではなく、「知っている思考の組み合わせで新しい問題を解く」ことを求めています。
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