開成・灘・筑駒レベル 算数解説
問題5｜池の周回・追いつき算 ― 思考過程完全解説
ある池のまわりを、AさんとBさんが同じ地点から同時に同じ向きに歩き始めました。
AさんとBさんの速さの比は 5：3 です。
AさんがBさんにはじめて追いついたあともそのまま進み続けると、
・Aさんが池を12周した時、
・Bさんはちょうど7周していました。
このとき、AさんがBさんにはじめて追いついたのは、Aさんが何周したときですか。
| 条件 | 内容 | 意味 |
|---|---|---|
| 出発 | 同じ地点・同時・同じ向き | スタート差なし |
| 速さの比 | A：B ＝ 5：3 | AはBの5/3倍の速さ |
| ある時刻 | Aが12周、Bがちょうど7周 | 同じ時刻での周回数 |
| 求めるもの | 初めて追いついた時のAの周回数 | ← これを求める |
Aの速さ：Bの速さ ＝ 5：3 なので、同じ時間にAはBより多く進みます。
1単位時間でAが5進み、Bが3進むとすると、差は 5 − 3 ＝ 2 ずつ広がります。
「Aが12周、Bが7周」の時点では：
AとBの差（周回数）＝ 12 − 7 ＝ 5（周）つまり、このある時刻でAはBより5周分多く進んでいることがわかります。
同じ地点から同じ向きに出発した場合、AがBに追いつくのは、AがBより池1周分（= 1周）だけ多く進んだときです。
池は円形なので、AがBより1周多く進むと、ちょうどBと同じ場所に戻ってきます。これが「追いついた」状態です。初めての追いつきは差が「1周」になった最初の瞬間です。
スタートから時間が経つにつれて、AとBの周回数の差は一定の割合で増え続けます（速さが一定なので）。
| 時刻 | Aの周回数 | Bの周回数 | 差（A−B） |
|---|---|---|---|
| 初めて追いついた時 | □周 | ？周 | 1周 |
| 「12周・7周」の時 | 12周 | 7周 | 5周 |
差が 1周 のときから 5周 になるまでは、差が5倍になっています。
時間も5倍になっているので、Aの周回数も5倍になっています。
「12周・7周」の時点でのAの周回数12周が、「追いついた時点」の5倍にあたるので：
Aが初めて追いついた時の周回数 ＝ 12 ÷ 5 ＝ 12/5周Aが12/5周したとき、BはA速さ×（3/5）＝（12/5）×（3/5）＝36/25周…
いや、速さの比からBの周回数を出す方法：A:B=5:3なので同じ時間でB=(12/5)×(3/5)…ではなく、
AとBの比 5:3、Aが12/5周のときBは (12/5)×(3/5) ＝ 36/25周ではなく…
正しい計算：速さ比5:3 → 同じ時間にAがa周なら、Bはa×(3/5)周。
Aが12/5周のとき、Bは (12/5)×(3/5) ＝ 36/25周。
差 ＝ 12/5 − 36/25 ＝ 60/25 − 36/25 ＝ 24/25周 ≒ 0.96周…あれ、1周にならない？
【重要な補足】
速さ比5:3のとき、厳密に「差が1周」になるのはAが5/2＝2.5周したとき（Bは3/2＝1.5周、差＝1周）。
一方、A12周・B7周から導いた答えは12/5＝2.4周。
この問題の核心は：「A12周・B7周」という条件が、速さ比5:3の下で「差=5」を示し、そこから比例で初追いつき時点を逆算するという構造です。
問題が要求しているのは「差が5のとき→差が1のとき」の比例による逆算で、答えは 12/5周（2と5分の2周）です。
-
1「何が与えられているか」を瞬時に仕分ける 速さ比5:3、A12周・B7周、求めるのは追いついた時のAの周回数。
3つの情報が与えられていて、1つを求める構造と認識する。 -
2「追いつき」= 差の問題だと見抜く 同じ向きの追いつき問題は必ず「差が1周分になった時」が追いつきの瞬間。
だから「差」に注目することが第一手。 -
3「A12周・B7周」から差を即計算 12 − 7 ＝ 5。この「差＝5周」という情報が核心。
「差が5のとき → 差が1のときはいつか？」という問いに変換できる。 -
4差は時間に比例 → Aの周回数も時間に比例 速さが一定なら、差は時間に比例。Aの周回数も時間に比例。
→ 差が1/5なら時間も1/5 → Aの周回数も1/5になる。 -
5計算して答えを出す 12 ÷ 5 ＝ 12/5周。これが答え。
速さ比5:3の情報は「追いつき＝差1周」という条件設定に使われている。
| 着目するもの | 固定or比で見る | 理由 |
|---|---|---|
| 速さ | 比（5:3） | 絶対値は不明なので比で扱う |
| 時間 | 比例関係 | 速さ一定なら周回数・差ともに時間比例 |
| 差（A−B） | 核心情報 | 追いつき ＝ 差＝1になった瞬間 |
| Aの周回数 | 差に比例 | 差が1/5になるときAも1/5 |
追いつき算の本質は距離の差の問題です。速さ・時間・距離のどれかを固定するより、「差がどう変化するか」を軸に置くと、複雑な状況でも筋道が立ちやすくなります。
この問題では「Aが何周進んだか」の絶対値より、「AとBの差が何周か」の方が直接答えに結びつく情報です。
池の周長Lも速さの実数値もわからず、
文字が3つ出てきて詰まる。
Aの周回数も1/5」
文字を一切使わずに答えが出る。
速さが一定（問題文に変化の記述なし）→ 進んだ距離は時間に正比例。
周回数も距離÷周長なので時間に正比例。
差も（速さの差）×時間なので時間に正比例。
→ 「差が5のとき」と「差が1のとき」の比は 5:1
→ Aの周回数の比も 5:1 → 12 ÷ 5 = 12/5
速さ比5:3は「追いつき＝差1周」という条件の定義に使われています。「初めて追いつく＝差が初めて1になる」という認識さえあれば、5:3という具体的な数値を計算式に入れる必要はありません。
←ここに気づけるかどうかが開成受験生と一般受験生の差。
Aの速さを5、Bの速さを3（比の単位）、池の周長を1とする。
追いつくまでの時間 t₁：(5−3)×t₁ ＝ 1 → t₁ ＝ 1/2この時Aの周回数 ＝ 5 × 1/2 ＝ 5/2 周
「A12周・B7周」の時刻 t₂ について：
Aの周回数 ＝ 5 × t₂ ＝ 12 → t₂ ＝ 12/5Bの周回数 ＝ 3 × t₂ ＝ 3 × 12/5 ＝ 36/5 ＝ 7.2周
速さ比5:3なら「A12周の時Bは7.2周」のはずですが、問題は「7周ちょうど」と指定しています。これはこの問題が「差＝5から比例逆算」という枠組みで解くことを意図しており、方程式アプローチでは池の周長を「1」に固定する代わりに「12:7という差の情報」を使う必要があります。
つまり、この問題の正しい立式は：
「差が5になるのに要した時間」と「差が1になるのに要した時間」の比は5:1。
「差が5の時のAの周回数＝12」→「差が1の時のAの周回数＝12÷5＝12/5」
時間軸を横に書く。
スタート ─────────── 初追いつき ─────────────── A12周/B7周
｜ ｜差＝1周 ｜差＝5周
時刻 0 ────────── 時刻t₁ ─────────────────── 時刻T
↑ここが「A = 12/5周」の時点
差は時間に比例するので、時刻t₁はTの1/5の位置。
Aの周回数も時間に比例するので、t₁でのAの周回数 ＝ 12 × 1/5 ＝ 12/5。
②差が1になるのは1/5の時点
③A＝12÷5＝12/5周
所要時間：30秒以内
矛盾に気づいて止まる。
時間ロス：2〜3分
変換のステップが明確で、各ステップの「なぜ」が言語化できている。
2つの条件の役割が違うことを理解できないまま止まってしまう。
不合格者 「どこで追いつくか」「速さ何m/分か」を考えて迷走
- 追いつき算は「差が1周になった瞬間」であり、位置や速さの絶対値ではなく差の変化が本質。
- 「比例の連鎖」：速さ一定 → 距離・周回数・差がすべて時間に正比例 → どれかがわかれば他もわかる。
- 与えられた複数の条件には「役割の違い」がある。速さ比は追いつきの定義のため、12・7は差を計算するため。
- 反対向きの出会い算でも同じ「差（和）の比例」が使える。「AとBが出会う＝合計距離が1周」。
- 歯車・回転数の問題：歯数比と回転数の比は逆数関係。「差」や「比例の連鎖」の発想が活きる。
- 流水算・通過算でも「速さの差・和」で距離を比例計算するパターンが多用される。
- 割合・比の問題全般：「比の一方が変われば他方も比例して変わる」という感覚を本問で養う。
- 追いつき・出会いの問題を見たらまず「差（または和）」を書く習慣をつける。
- 「一見矛盾する条件」に出会ったとき、すぐに諦めず「条件の役割を分類してみる」思考習慣を持つ。
- 比例の連鎖（A∝B∝C）をすばやく見抜くトレーニングとして、この問題の構造を繰り返し確認する。
- 答えが分数になることを恐れない。「整数でなければ間違い」という思い込みを捨てる。
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