場合の数は、中学受験算数の中でも「わかったつもり」になりやすい分野です。
簡単な問題なら解けるのに、条件が少し増えると「数え漏れた」「同じものを2回数えた」「どこから考えればいいかわからない」ということが起こります。
場合の数で大切なのは、計算方法を覚えることではありません。条件に合うものを、重複なく、漏れなく数える仕組みを作ることです。
目次
- 頭の中だけで数えている
- 最初から計算式を作ろうとしている
- 場合分けの基準が決まっていない
- 条件を読み落としている
- 余事象を使える問題でも全部数えている
- 答えが出たあとに確認していない
- 場合の数を得意にする勉強順
- まとめ
1．頭の中だけで数えている
最も多い原因の一つです。
たとえば3つの数字を並べて整数を作る問題でも、頭の中だけで組み合わせを考えていると、数え漏れが起こります。
場合の数では、次のように考えた過程を目に見える形にすることが重要です。
- 書き出す
- 表にする
- 樹形図をかく
- 最初の条件で場合分けする
2．最初から計算式を作ろうとしている
場合の数を習うと、「○通り×○通り」という計算を使うようになります。
便利ですが、意味を理解しないまま使うと危険です。
たとえば「Aを選んだあとにBを選ぶ」という2段階の選択なら掛け算が使えます。しかし、条件によって次に選べる数が変わる場合は、単純な掛け算では処理できないことがあります。
最初は小さな数で実際に書き出し、なぜ掛け算で数えられるのかを理解することが大切です。
3．場合分けの基準が決まっていない
難しい問題では、すべてを一度に数えるのではなく、条件によって分けます。
たとえば整数を作る問題なら、「百の位が1の場合」「百の位が2の場合」のように、最初の数字で分ける方法があります。
重要なのは、途中で基準を変えないことです。
最初は百の位で分けていたのに、途中から偶数・奇数で考えると、重複や漏れが起こりやすくなります。
4．「少なくとも」「ちょうど」などの条件を読み落としている
場合の数では、言葉の意味が非常に重要です。
- 少なくとも1つ
- ちょうど2つ
- 隣り合わない
- 同じものを何度使ってもよい
こうした条件によって答えは大きく変わります。
問題を読んだら、数え始める前に条件に線を引く習慣をつけましょう。
5．余事象を使える問題でも全部数えている
「少なくとも1回○○になる」という問題では、条件に合うものを直接数えるより、
全体－一度も○○にならない場合
と考えた方が簡単なことがあります。
これを余事象の考え方といいます。
ただし、最初から余事象だけを覚える必要はありません。書き出しや樹形図で基本的な数え方を理解してから使う方が、意味を理解しやすくなります。
6．答えが出たあとに確認していない
場合の数は計算が合っていても、考え方に漏れがあることがあります。
答えが出たら、次の3点を確認しましょう。
- すべての場合を含んでいるか
- 同じものを2回数えていないか
- 問題の条件をすべて満たしているか
場合の数を得意にするおすすめの勉強順
いきなり複雑な問題へ進まず、次の順番で練習すると理解しやすくなります。
- 実際にすべて書き出す
- 表に整理する
- 樹形図を使う
- 掛け算でまとめる
- 条件によって場合分けする
- 余事象を使う
まとめ
場合の数で重要なのは、速く計算することではありません。
漏れなく、重複なく数えられる整理方法を身につけることです。
苦手なうちは、書き出すことを面倒だと思わないようにしましょう。書き出し→表→樹形図→場合分けと段階的に整理できるようになると、複雑な場合の数にも対応しやすくなります。
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