4人の並び方：条件付き順列の完全攻略
A、B、C、D の4人が1列に並びます。
ただし、次の2つの条件をどちらも満たすこととします。
- 条件①：A は B より左にいる
- 条件②：C と D は隣り合わない
並び方は全部で何通りありますか？
4×3×2×1 ＝ 24通り
（1番目に4人のうち誰か、2番目に残り3人のうち誰か…と順番に決める）
A と B の2人だけに注目します。
条件がなければ、A が左・B が右 の「A左B右」と、B が左・A が右 の「B左A右」の2通りが同じだけあります。
つまり、24通りのうち ちょうど半分 が「A が B より左」になります。
24 ÷ 2 ＝ 12通り……条件①だけを満たす並び方
「C と D が隣り合わない」は直接数えると場合分けが多くなります。
そこで 反対のことを先に数える（補集合を使う）方法を使います。
（条件①を満たす）12通り
― （条件①を満たし、かつ C と D が隣り合う）通り数
＝ 求める答え
CD のかたまりと A と B の、合計 3つのもの を並べます。
→ 3×2×1 ＝ 6通り
「CD」か「DC」の 2通り
6 × 2 ＝ 12通り
12 ÷ 2 ＝ 6通り……条件①を満たし、かつ C と D が隣り合う
12 ― 6 ＝ 6通り
4文字で書くとき、左から1番目・2番目・3番目・4番目の順です。
| # | 1番目 | 2番目 | 3番目 | 4番目 | A＜B（左）? | CとD離れてる? |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | A | C | B | D | ○ | ○ |
| 2 | A | D | B | C | ○ | ○ |
| 3 | C | A | D | B | ○ | ○ |
| 4 | D | A | C | B | ○ | ○ |
| 5 | A | C | D | B | ○ | ✕（隣） |
| 6 | C | A | B | D | ○ | ○ |
| 7 | D | A | B | C | ○ | ○ |
※ 条件両方○のものだけを数えると6通りになります（上の表は一例で、全列挙は別解セクションで確認）
「4人・1列・条件が2つ」……これは 場合の数（順列）の問題 だ。条件が2つある → 2つの条件をどの順で処理するかを考えなければいけない。
条件①「A は B より左」→ 2人の順番を固定する系
条件②「C と D は隣り合わない」→ 隣り合わない系
この2種類が混在しているのがこの問題の「くせ」。
「A より左」は全体の ちょうど半分。なぜなら A と B の位置は「A左B右」か「B左A右」しかなく、対称だから。
→ 全体 24 ÷ 2 ＝ 12通り をまず出す。
「隣り合わない」を直接数えると場合分けが増える。だから逆に「隣り合う場合を引く」方が速い。
→ C と D をひとかたまりにする「くっつけ作戦」へ。
CD のかたまりは「CD」と「DC」の2通りある → 内側の並び替えを忘れず ×2。
C と D が隣り合う 12通り のうち「A が B より左」は半分 → 6通りを引く。
→ 12 ― 6 ＝ 6通り
4人の並び方は 24通り。これを全部書いて、2つの条件を両方チェックする。
→ 時間がかかるうえに、書き漏れ・確認ミスが起きやすい。本番では絶対にやってはいけない初手。
C と D の位置の組み合わせを全パターン書いて、隣でないものを選ぶ…というやり方。
→ CとDの位置のパターンが6組（12番、13番、14番、23番、24番、34番）あり、それぞれで A と B の並びも考えると場合分けが大量になる。計算ミスが増える。
A と B どちらが左でも確率は完全に同じ。だから全体を 2 で割るだけ。式を立てる必要もなく、場合分けゼロ。
「隣り合う」場合は「くっつけ作戦（CD をひとかたまりにする）」という定番テクニックが使える。この形をすぐ見抜けるかどうかが差になる。
A・B の並び順と、C・D の隣接の問題は完全に別物。だから「A より左の中で」「C と D が隣り合うものを引く」という分離処理ができる。この「独立性」への気づきが解法の核心。
CD のかたまりで「3×2×1 ＝ 6通り」を出したあと、「CD」と「DC」の2通りを掛けるのを忘れる。
→ 答えを 3通り と間違える（本当は6通り引くべきところを3通りしか引かない）。
「CD をひとかたまりにした」ことに集中しすぎて、かたまりの中身（C と D の順）も並び替えられることを忘れてしまうから。「くっつけたら中身も2通り」と毎回セットで覚えること。
CD が隣り合う 12通り を出したあと、そのまま「12 ― 12 ＝ 0」と計算してしまう。
→ 「12通りの中に A＜B の条件を加えていない」ことに気づかないミス。
「余事象（引く分）」を計算するとき、元の条件①が引く側にも生きていることを忘れるから。引く側でも A と B の位置関係を考えなければならない。「引く数にも同じ条件①が入る」と確認する習慣をつけよう。
全24通りを書き始めて時間切れになる。
「書けば絶対合う」という安心感から方針を立てる前に手が動いてしまうから。問題を読んだら「どうすれば効率よく数えられるか」を先に考える習慣が必要。
C と D の位置のパターンを（1,2）（1,3）…と列挙し始めるが途中でパンクする。
「隣り合わない → 余事象（反対のことを引く）」という定番の発想が身についていないから。「隣り合わない」という問題文が出たら反射的に「くっつけて引く」と反応できるようにしておく。
本番では使わないが、答え合わせや理解確認には有効。
「A より左」の12通りを書き、その中から「C と D が隣り合う」ものを探して除く。
| # | 並び方 | A＜B? | CDが隣？ | 正解? |
|---|---|---|---|---|
| 1 | ABCD | ○ | 隣（CD） | ✕ |
| 2 | ABDC | ○ | 隣（DC） | ✕ |
| 3 | ACBD | ○ | 離れてる | ○ |
| 4 | ACDB | ○ | 隣（CD） | ✕ |
| 5 | ADBC | ○ | 離れてる | ○ |
| 6 | ADCB | ○ | 隣（DC） | ✕ |
| 7 | CABD | ○ | 離れてる | ○ |
| 8 | CADB | ○ | 隣（AD…ではなくADは関係なし）離れてる | ○ |
| 9 | CDAB | ○ | 隣（CD） | ✕ |
| 10 | DABC | ○ | 離れてる | ○ |
| 11 | DACB | ○ | 離れてる | ○ |
| 12 | DCAB | ○ | 隣（DC） | ✕ |
○が6つ → 答え 6通り で確認できる。
速い 全体÷2 → くっつけ ÷2 → 引くの流れ。計算ステップが少なく、式が単純。
ミスしにくい 途中で条件を「A＜B」を引く側にも適用しているかを声に出して確認する。
確認用 書き出しは答えが出た後の検証に使う。本番で時間があれば上の表のように確認すると安心。
「2つの条件を別々に処理する」発想力。条件をひとつずつ分解して整理できるかどうかを見ている。
「A＜B は対称 → ÷2」「隣り合わない → 余事象」と瞬時に方針を立て、手を動かし始める。迷っている時間がない。
「どちらの条件から先に処理すればいいか」で止まる。または書き出しに走って時間を使い果たす。
「余事象（くっつけて引く）」という発想を当たり前に使えるかどうか。この1手が見えるかどうかで天と地の差がつく。
「4人・1列・条件2つ… A＜B は半分にするだけ。隣り合わない系だから余事象でいくか。CD くっつけて3つのものを並べる。内側も2通り忘れずに。A＜B の条件を引く側にも入れて…できた、6通り。」
▶ 「条件を分解して、それぞれの最適な処理を組み合わせる」力が試されている問題。
▶ 「A より左」は対称性（÷2）、「隣り合わない」は余事象（くっつけて引く）── この2つは場合の数の二大定番。どちらが来ても即反応できるように。
▶ 余事象を使う際は「引く側にも元の条件が生きているか」を毎回確認することが大切。
5人・6人でも「AはBより左」なら A と B の並び方は対等なので常に ÷2 で一発。
3人・4人・5人どの問題でも「くっつけ ×内側の並び替え」の公式は同じ。何人でも使える。
条件の数が増えてもやることは同じ。「どの条件から処理するか」の判断を鍛えよう。
- 「A より左（右）」が出たら → 全体 ÷ 2 で一発。対称性への気づきを反射的に。
- 「隣り合わない」が出たら → くっつけて数えて引く。余事象が最速。
- 引く側にも「元の条件が生きているか」を必ず確認。これをサボると答えがずれる。
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