3個ごとのグループ計算
📋問題
1、2、3、4、5、…… と整数を書いていきます。
3個ごとに、
4 ＋ 5 － 6
7 ＋ 8 － 9
……
のように計算します。
1から99までで計算した結果を求めなさい。
📖通常解説
まず、3つの数のまとまり（グループ）が何個あるかを確認し、
各グループの答えにどんな規則があるかを探します。
STEP 1｜グループの数を確認する
STEP 2｜各グループの答えを計算して規則を見つける
0、3、6、9、12、……、96
最初が0で、3ずつ増えていく数の列（等差数列）になっています。
なぜ3ずつ増えるのか？
グループが1つ進むと、3つの数がそれぞれ3ずつ大きくなります。
だから答えも「＋3 ＋3 －3 ＝ ＋3」だけ大きくなる。
STEP 3｜なぜ各グループの答えがその値になるかを確認する
グループの最初の数を「先頭の数」とします。
先頭を□とすると、3つの数は □、□＋1、□＋2。
□ ＋ (□＋1) － (□＋2)
＝ □ ＋ □ ＋ 1 － □ － 2
＝ □ － 1
第1グループ：□＝1 → 1－1 ＝ 0 ✓
第2グループ：□＝4 → 4－1 ＝ 3 ✓
第33グループ：□＝97 → 97－1 ＝ 96 ✓
STEP 4｜33個の答えを全部足す
0、3、6、9、……、96 の33個の数を全部足します。
これは「最初が0、最後が96、個数33」の等差数列の和です。
0、3、6、……、90、93、96 を前と後ろから組み合わせると、
0＋96＝96、3＋93＝96、6＋90＝96、……
どのペアも合計が96になる。33個なので、ペアは 33÷2 ＝ 16.5組分。
96 × 16.5 ＝ 1584。
同じことが「(0＋96) × 33 ÷ 2」の計算です。
確認｜小さい例で検証する
(1＋2－3) ＋ (4＋5－6) ＋ (7＋8－9)
＝ 0 ＋ 3 ＋ 6 ＝ 9
公式で確認：(0＋6) × 3 ÷ 2 ＝ 6×3÷2 ＝ 9 ✓
🔍初見での考え方
実況形式 開成受験生が本番でどう頭を動かすべきかを説明します。
これを見た瞬間に「グループに分けて考える」が頭に浮かぶのが正解。
さらに「99 ÷ 3 ＝ 33、ちょうど割り切れる」→ 端数なし、と確認する。
もし1から100や1から101なら中途半端なグループが生まれ、別処理が必要になる。
「最後の数が3の倍数か」を最初に確認する習慣が重要。
「先頭の数から1を引いた値」がそのグループの答えとわかる。
これで全グループの答えを一般式で書ける。
「はじめ＋おわり × 個数 ÷ 2」の公式が使えると判断する。
この「等差数列の和」への変換が、この問題の核心。
48 × 33 ＝ 48 × 30 ＋ 48 × 3 ＝ 1440 ＋ 144 ＝ 1584。
計算の順序を変えてミスを減らす工夫も開成では差がつく。
💡なぜその方針を選ぶのか
「全部足し算・引き算を順番にやる」方法ではなぜ苦しいか
1＋2－3＋4＋5－6＋…… と1つずつ計算すると、99回の操作が必要。
途中で符号を間違える危険が高く、計算ミスが重なる。
また「なぜその答えになるか」の構造が見えないため、別の問いへの応用も効かない。
「グループ化→各グループの一般式→等差数列の和」が有効な理由
問題の中に「3つで1パターン」という繰り返し構造がある。
この構造を使えば、99回の計算が「33個の数の和」に変わる。
さらに33個の数が等差数列（一定の差で増える数列）になるので、公式1回で終わる。
「繰り返し → グループ化 → 等差数列の和」はセットで覚えるべき黄金手順。
「先頭を□として式を立てる」のはなぜか
具体的な数（1＋2－3、4＋5－6……）を毎回計算していたら、パターンに気づきにくい。
先頭を□とすることで「どのグループも □－1 になる」という共通のルールが見えてくる。
これが「一般化」の発想で、開成レベルでは必須のスキルです。
等差数列の和の公式を使う理由
0、3、6、……、96 を1つずつ足すのは手間。
しかし「前と後ろからペアにすると毎回96になる」という規則があるので、
「(はじめ＋おわり) × 個数 ÷ 2」という公式が使える。
この公式を使う判断ができるかどうかが、差をつけるポイント。
⚠️典型ミス
「1＋2－3＋4＋5－6」を見て「1番目が＋、2番目が－、3番目が＋」と勘違いし、符号を間違えたまま計算する。
99 ÷ 3 を計算せず感覚で「33ぐらい」と書いてしまう。
0、3、6、……、96 の個数を「96÷3＝32個」と計算して1つ少なく数える。
(0＋96) × 33 ＝ 3168 と答えてしまう（÷2を忘れる）。
48 × 33 を暗算しようとして1500＋84＝1584 などと足し算ミスをする。
🔄別解
別解①｜「3の倍数だけを注目する」方法
各グループ「□＋(□＋1)－(□＋2) ＝ □－1」より、
答えは各グループの先頭の数から1を引いたもの。
先頭の数は 1、4、7、10、……、97 という等差数列。
各グループで「先頭から1引く」ので、33グループ分 ＝ 1 × 33 ＝ 33 を引く
答え ＝ 1617 － 33 ＝ 1584 ✓
別解②｜「＋の数をまとめる・−の数をまとめる」方法
→ (1＋2) ＋ (4＋5) ＋ …… ＋ (97＋98)
→ 3 ＋ 9 ＋ 15 ＋ …… ＋ 195 （33個の等差数列）
→ (3＋195) × 33 ÷ 2 ＝ 198 × 33 ÷ 2 ＝ 99 × 33 ＝ 3267
−のつく数（各グループの3番目）：3、6、9、……、99（33個）
→ (3＋99) × 33 ÷ 2 ＝ 102 × 33 ÷ 2 ＝ 51 × 33 ＝ 1683
全体 ＝ 3267 － 1683 ＝ 1584 ✓
本番おすすめ
基本解（グループの答えを等差数列にして和を求める）が最もシンプルで速い。
確認に使える
別解①は「先頭の数の合計から33を引く」というやり方で、理解が深まる。
計算量は多いが確実
別解②は計算が増えるが、等差数列の和の練習にもなる。
🏆開成で差がつくポイント
「グループ化 → 一般式で表す → 等差数列の和に落とし込む」という3段階の論理変換力。
計算力ではなく、「複雑な構造を単純な公式が使える形に変える力」が問われています。
合格者
「3つで1パターン」を即認識 → 99÷3＝33グループ → □－1の一般式 → 等差数列の和、と一直線。
不合格者
グループに分けずに順番に計算し始める。または各グループの答えを1つずつ33回足そうとする。
① 3つで1グループ、33グループある
② 各グループ ＝ 先頭－1（第kグループは 3k－4、もしくは単純に 0、3、6…と確認）
③ 0＋3＋6＋……＋96 ＝ (0＋96)×33÷2 ＝ 1584
このフローを2〜3分でこなせる。
① 符号のパターン（＋＋－）を正しく認識できない
② グループの答えが「等差数列になっている」ことに気づかず、33個を1つずつ足そうとする
③ 等差数列の和の公式を「(はじめ＋おわり)×個数」と誤って覚えている
この問題で開成が見ているのは「一般化できるか」です。
「1＋2－3＝0、4＋5－6＝3」と具体例で確認しながら、
「先頭を□とすると □－1 になる」という一般式に昇格できるか。
この「具体 → 抽象 → 公式適用」の流れが、開成の算数で繰り返し問われるパターンです。
📚この問題から学ぶべきこと
この問題の本質
「繰り返しパターンを持つ計算問題」の本質は、
① 1グループの構造を一般式で表す → ② グループ全体の答えが等差数列になる → ③ 等差数列の和に変換する
という3ステップの変換です。「計算の山」を「公式1回」に変える発想がすべてです。
他の問題への応用
・符号のパターンが変わった問題（例：＋－＋ならどうなるか）
・グループの個数が変わった問題（4つで1グループ、5つで1グループ）
・等差数列の和の公式の練習問題全般
・「1＋3＋5＋……奇数の和」「2＋4＋6＋……偶数の和」など
すべてに「グループ化して等差数列にする」発想が通じます。
今後どう活かすか
① 「3つ（nつ）で1パターン」を見たら即グループ化を反射で出せるようにする
② 最後の数がグループ数で割り切れるか確認してから方針を決める
③ 「先頭を□として計算する」一般化の習慣をつける
④ 等差数列の和 ＝ (はじめ＋おわり) × 個数 ÷ 2 の公式をペアの意味から理解する
この4つが身につけば、この型の問題は確実に得点源になります。
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