数の並びのグループ分けと和
― 規則性・三角数・和の工夫 ―
問題
次のように数を並べます。
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 ……
このとき、上から20段目までに書かれている数の和を求めなさい。
この数列は「グループ」に分けて読む。
第1グループ：1（1個）
第2グループ：1・2（2個）
第3グループ：1・2・3（3個）
第4グループ：1・2・3・4（4個）……
つまり「第k段」は、1から k までの整数を並べた k 個のグループ。
通常解説
ステップ① 構造を整理する
第k段には「1・2・3・…・k」が並んでいます。
第k段の和 ＝ 1＋2＋3＋…＋k ＝ k×(k＋1)÷2
| 段 | 並ぶ数 | 個数 | 段の和 | 計算 |
|---|---|---|---|---|
| 第1段 | 1 | 1個 | 1 | 1×2÷2 |
| 第2段 | 1 2 | 2個 | 3 | 2×3÷2 |
| 第3段 | 1 2 3 | 3個 | 6 | 3×4÷2 |
| 第4段 | 1 2 3 4 | 4個 | 10 | 4×5÷2 |
| 第5段 | 1 2 3 4 5 | 5個 | 15 | 5×6÷2 |
| … | … | … | … | … |
| 第k段 | 1 2 … k | k個 | k×(k+1)÷2 |
ステップ② 20段分の和を求める（正攻法）
＝ 1 ＋ 3 ＋ 6 ＋ 10 ＋ 15 ＋ 21 ＋ 28 ＋ 36 ＋ 45 ＋ 55
＋ 66 ＋ 78 ＋ 91 ＋ 105 ＋ 120 ＋ 136 ＋ 153 ＋ 171 ＋ 190 ＋ 210
1+3+6+10+15
+21+28+36+45+55
＝ 220
66+78+91+105+120
+136+153+171+190+210
＝ 1320
ステップ③ 「差し引き法」による速算（別の求め方）
「k×(k+1)×(k+2)÷6」という数を計算してみます。
これは3つの連続する整数の積を6で割ったものです。
k=1のとき：1−0 ＝ 1（＝第1段の和）
k=2のとき：4−1 ＝ 3（＝第2段の和）
k=3のとき：10−4 ＝ 6（＝第3段の和）
k=4のとき：20−10 ＝ 10（＝第4段の和）
k=5のとき：35−20 ＝ 15（＝第5段の和）
「k×(k+1)×(k+2)÷6 の差」が第k段の和にぴったり一致する！
第1段の和 ＝（k=1の値）−（k=0の値）
第2段の和 ＝（k=2の値）−（k=1の値）
……
第20段の和 ＝（k=20の値）−（k=19の値）
すべて足すと、途中の数が次々と打ち消し合って、 最後の「k=20の値」だけが残ります！
20×21×22÷6 ＝ 9240÷6 ＝ 1540
第1段の和 ＝ 4 − 1
第2段の和 ＝ 10 − 4
第3段の和 ＝ 20 − 10
…
第20段の和 ＝ 1540 − 1330
足すと「青い数」と「赤い数」が順番にペアになって消えていきます。
残るのは最初の「−1（k=0の値）」と最後の「+1540（k=20の値）」だけ。
答え ＝ 1540 − 0 ＝ 1540
（k=0 のとき 0×1×2÷6＝0 なので引く部分は0）
初見での考え方
「1 1 2 1 2 3 …」→ 区切り目が見えるか？と即座に問う。
グループ分けで読むと「第k段 ＝ 1〜k の数列」とわかる。
「グループ番号がそのまま最大値になっている」のが最重要の観察ポイント。
第k段の和 ＝ k×(k+1)÷2 とすぐ書く。
この形を見た瞬間に「三角数だ」と認識できると、
「三角数の和 ＝ 差し引き法で求められる」という知識につながる。
方法A：直接20個の三角数を全部足す（計算量多いがミスなし）
方法B：差し引き法で一発計算（速いが仕組みの理解が必要）
開成本番では、方法Bを使える人が圧倒的に有利。
「k(k+1)÷2 を差として持つ式はないか？」と考える。
3つの連続整数の積 k(k+1)(k+2) を6で割ると、
差が丁度 k(k+1)÷2 になることを確認できれば、あとは一発。
「差分で作れないか」という発想が鍵。
なぜその方針を選ぶのか
数列をそのまま「1＋1＋2＋1＋2＋3＋…」と足そうとすると、
何番目の数がいくつかを一つ一つ把握しなければならず、全体の構造が見えません。
「段（グループ）に分ける」という視点を持つだけで、問題が「三角数の和」という扱いやすい形に変わります。
「構造の発見」が算数の出発点。
20個の三角数（1, 3, 6, 10, …, 210）を全部足す方法は確実ですが、
①計算ミスのリスクが高い、②時間がかかる、という2つの弱点があります。
開成の試験では時間管理が勝負を分けるため、「正確で速い方法」を選ぶ意識が大切。
「足す対象が『何かの差』で書ける」なら、合計すると途中の項がすべて消えて計算が劇的に楽になります。
これは「掃き出し（望遠鏡のたし算）」と呼ばれる算数の重要テクニックです。
k(k+1)(k+2)÷6 という式は「三角数を差として持つ唯一の形」なので、
この形を知っているかどうかで解答速度が劇的に変わります。
「数n は第n段・第(n+1)段・…・第20段に登場するので、合計 (21−n) 回登場する」と考えると、
全体の和 ＝ 1×20 ＋ 2×19 ＋ 3×18 ＋ … ＋ 20×1 と書けます。
この式は対称性があり（左右が鏡写し）、美しい構造ですが、
計算には n² の和が必要になり小学算数では重くなります。
差し引き法の方がシンプルで速い。
典型ミス
別解・解法まとめ
別解①：「数が何回登場するか」を使う方法
つまり数n の登場回数 ＝ 21−n（21からnを引いた数）。
小学算数の範囲で計算するには工夫が必要です。
→ 「数列の構造を逆から読む」という発想力を鍛えるのに優れた別解。
別解②：直接計算（分割して丁寧に足す）
第2段：3
第3段：6
第4段：10
第5段：15
小計：35
第7段：28
第8段：36
第9段：45
第10段：55
小計：185
第12段：78
第13段：91
第14段：105
第15段：120
小計：460
第17段：153
第18段：171
第19段：190
第20段：210
小計：860
最速・最安全 差し引き法 → 20×21×22÷6＝1540（一発計算）
確実・ミスしにくい 直接計算（5段ずつ小計）→ 35＋185＋460＋860＝1540
時間注意 一気に20個足す方法 → 計算ミス多発のリスクあり
差し引き法を知っているかどうかで解答時間が3〜5分変わる可能性があります。
開成で差がつくポイント
「グループ構造に気づく力」と「その和を効率よく求める計算力」の両方が問われています。
単に答えを出すだけでなく、「なぜその方法を選んだか」が明確に説明できることが開成のレベルです。
①「段（グループ）に分ける」を0.5秒で判断。
②「第k段の和 ＝ k(k+1)÷2」を即書きする。
③「三角数の和 ＝ 差し引き法で求まる」と直結し、
20×21×22÷6 を計算して終わり。
問題を見てから解答まで3〜4分。
①グループ分けに気づくが、20個の三角数を全部書き出して足そうとする。
②計算ミスで答えが合わず、2〜3回やり直す。
③時間切れ、または焦りから答えが「1430」「1550」などになる。
差し引き法を知らないだけで7〜8分かかることもある。
開成は「規則性の問題で計算量を減らす工夫」を必ず試みます。
「k(k+1)(k+2)÷6」という「3つの連続整数の積÷6」が差し引き法のカギになる式は、
今後の問題でも繰り返し登場します。
「この形が出たら差し引き法！」と体に染み込ませておくこと。
この問題から学ぶべきこと
この問題の本質
この問題の本質は「数列の構造を見抜いてから、効率よく和を求める」という2段階の力です。
「グループに分ける」という観察力と、「三角数の和＝差し引き法」という計算の工夫の両方が必要です。
どちらか一方だけでは開成レベルには届きません。
他問題への応用
・「1, 1+2, 1+2+3, …」の数列の和（同じ構造）
・「k段目に k² 個のものが並ぶ」など、段の数が二乗になるパターン
・「差し引き法（望遠鏡のたし算）」が使える数列全般
・分数の和「1/(k×(k+1)) ＝ 1/k − 1/(k+1)」に同じ差し引き法が使える
今後どう活かすか
① 「グループに分けて読む」を癖にする（規則性問題の基本中の基本）
② 「三角数の和 ＝ n(n+1)(n+2)÷6」を自分の手で確かめて覚える
③ 「差し引き法」を他の数列でも試してみる（習熟が大切）
「差を使って和を求める」は算数最強のテクニックのひとつ。
今日この問題で身につけた発想は、今後10年使い続けられます。
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