2025年度の開成中学校・算数を、全4大問・全小問について順に解説します。単位と割合、独自ルールの作図、往復運動、立体の切断まで、途中式と図を使いながら本番で再現しやすい形に整理しました。
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試験全体の見方
計算処理だけでなく、問題独自の条件を正確に読み替える力が求められる構成です。大問1は確実に得点したい処理、大問2はルール理解と作図の検査、大問3は長い条件を比へ整理する力、大問4は投影図と実際の図形を区別する力を問います。
難易度の流れ
大問1で土台を固め、大問2以降で条件整理・比・図形の見方が段階的に重くなります。理数館の分析では、大問3・4が差のつきやすい問題です。
時間配分
大問1は単位と基準量を確認して手早く、大問2はルールを表にし、大問3・4には図と比を書き込む時間を残します。作図は完成後の条件検査まで含めて時間を見積もります。
典型的なミス
割合の基準の取り違え、行をまたぐ長方形の数え落とし、到着回数と通過した道の本数の混同、投影図を実際の切断面だと思う誤りに注意します。
大問1 単位換算と割合
(1)は複数の長さの単位をそろえて長方形の面積を求める問題、(2)は買い物のたびに変わる残金を基準にして割合を整理する問題です。
（1）長方形の面積
最初に見る点：たし算・ひき算をする前に、km・m・cm・mmをすべてmにそろえます。面積を求めた後で、m²をaへ直します。
- 0.02km＝20m
- 40cm＝0.4m
- 32cm＝0.32m
- 120mm＝0.12m
したがって、1つ目の辺は
20＋13－0.4＝32.6（m）
2つ目の辺は
2.3＋0.32－0.12＝2.5（m）
長方形の面積は
32.6×2.5＝81.5（m²）
1a＝100m²ですから、
81.5÷100＝0.815（a）
答え：0.815a
検算：0.815a＝81.5m²です。32.6×2.5＝32.6×10÷4＝81.5となり、元の面積と一致します。
（2）商品Aの値段
最初に見る点：Bの代金はAを買った後の残金、Cの代金はBを買った後の残金を基準にしています。基準となる金額が買い物ごとに変わることを、順番に整理します。
最初の所持金を1とみます。Aを買った後に残る割合は8/9で、さらに20円が残ります。
Bを買った後は、その8/9のうち6/7が残ります。また、Aで残った20円の6/7と、Bが40円安かった分が残ります。よって、B購入後の残金は
最初の所持金の16/21＋（20×6/7＋40）円
＝最初の所持金の16/21＋400/7円
Cを買った後は、その4/5が残り、Cが10円安かった分を加えます。したがって最後の残金は
最初の所持金の64/105＋（400/7×4/5＋10）円
＝最初の所持金の64/105＋390/7円
一方、問題文によれば、最後の残金は「最初の所持金の4割より480円多い金額」です。4割＝2/5＝42/105なので、2つの表し方の差を比べます。
64/105－42/105＝22/105
480－390/7＝2970/7（円）
最初の所持金の22/105が2970/7円に当たるので、
2970/7÷22×105＝2025（円）
求める商品Aの値段は、所持金の1/9より20円安いので、
2025÷9－20＝225－20＝205（円）
答え：205円
検算：A購入後は1820円、Bは1820÷7－40＝220円で残金1600円、Cは1600÷5－10＝310円で残金1290円です。2025×0.4＋480＝1290円となり、問題文の最後の条件と一致します。
学習上のポイント
- 長さの単位をそろえてから面積を計算し、面積の単位換算は最後に行う。
- 割合では「何を基準にした何分のいくつか」を買い物の段階ごとに確認する。
- 求めた金額をA・B・Cの購入順に代入し、最後の残金まで確かめる。
理数館コメント
大問1では、速く計算を始めることより、単位と基準量を先に固定することが大切です。(2)でB・Cの基準を最初の所持金だと思い込むと全体が崩れるため、買い物後の残金を一段ずつ書き残す答案にしましょう。
大問2 長方形の区切り方とポイント
4行×9列の36マスを、面積が1～8マスの長方形1個ずつに区切ります。上から第1～第4行にある長方形の種類数を数え、「行番号×種類数」の合計をポイントとします。
最初に確認するルール
- 1～8マスの長方形を1個ずつ使う。面積の合計は1＋2＋…＋8＝36マスで、板全体4×9＝36マスと一致する。
- 同じ長方形が2行以上にまたがるときは、またがった各行で1種類として数える。
- ポイントは「長方形の面積」ではなく、「行番号×その行にある長方形の種類数」の合計である。
（1）図2・図3のポイント
図2：第1行には3・4・6の3種類、第2行には5・2・6の3種類、第3行には7・6の2種類、第4行には8・1の2種類があります。
1×3＋2×3＋3×2＋4×2＝3＋6＋6＋8＝23
図3：第1行は2種類、第2行は3種類、第3行は5種類、第4行は3種類です。
1×2＋2×3＋3×5＋4×3＝2＋6＋15＋12＝35
答え：図2は23、図3は35
（2）ポイント20・30になる区切り方
ポイント20の例では、各行を2個の横長の長方形に分けます。上から順に、面積1と8、2と7、3と6、4と5を組み合わせると、どの行も9マスになり、1～8をちょうど1回ずつ使えます。
1×2＋2×2＋3×2＋4×2＝20
ポイント30の例では、各行の種類数を上から5、4、3、2にします。図の区切り方は面積1～8を1回ずつ使い、36マスを重なりなく埋めています。
1×5＋2×4＋3×3＋4×2＝30
（3）なるべく大きいポイントの例
行番号の大きい第3行・第4行に、多くの長方形がまたがるようにするとポイントが上がります。図の例では、各行の種類数が上から3、4、5、5です。
1×3＋2×4＋3×5＋4×5＝3＋8＋15＋20＝46
この配置でも、面積1～8の長方形を1個ずつ使い、板全体をすき間なく埋めています。問題は「なるべく大きい区切り方」を答える形式なので、この条件を満たす46点の例を答えとします。
答えの例：46ポイント
学習上のポイント
- 独自ルールの問題では、計算を始める前に「何を数え、何を掛けるか」を短い言葉で書き直す。
- またがる長方形は、含まれるすべての行で数える。
- 作図問題は、面積1～8を1回ずつ使ったか、面積合計が36か、重なりや空白がないかを検査する。
- 高得点を狙うときは、行番号の大きい下側の行に多くの長方形を通す。
理数館コメント
最初に「第何行か」と「その行の種類数」を分けて書くことが失点防止の中心です。（3）は見た目だけで高得点と判断せず、1～8の使用、全36マス、各行の種類数、ポイントの4項目を順に確認しましょう。
大問3 3本の道を使う往復運動
地点Aと地点Bを結ぶ3本の道を、のぞみさん・ひかりさん・こだまさんが決められた順に進みます。出会った時刻と場所を手がかりに、Bへの到着回数、道の長さの比、速さの比、最初に出会う場所を求める問題です。
最初に整理すること
道を通る順は、3人とも「ア→イ→ウ→ア→イ→ウ→…」です。ただし、AからBへ進む回と、BからAへ戻る回が交互に現れます。したがって、Bに着くときに通っている道は次のように並びます。
1回目はア、2回目はウ、3回目はイ、4回目はア、5回目はウ、…
この順を先に書いておくと、到着回数と進んだ道の本数を取り違えません。
（1）グラフ
のぞみさんの2回目のB到着は、ア・イ・ウの3本を1回ずつ通り終えたところです。8回目のB到着は、15本の道を通り終えたところです。解答用紙ののぞみさんの線上では、それぞれ該当する折り返しの位置に印を付けます。
ひかりさんはのぞみさんよりおそいので、ひかりさんの線はのぞみさんの線より傾きがゆるくなります。さらに、のぞみさんが2回目・5回目にBへ着く時刻には別の道上で交わり、8回目にBへ着く時刻には同じ道上で重なるように線を引きます。
グラフから、同じ時刻におけるB到着回数は「のぞみ2回目とひかり1回目」「のぞみ5回目とひかり3回目」「のぞみ8回目とひかり5回目」と読めます。
（2）ひかりさんのB到着回数
- のぞみさんが2回目にBへ着くとき：ひかりさんは1回目
- のぞみさんが5回目にBへ着くとき：ひかりさんは3回目
- のぞみさんが8回目にBへ着くとき：ひかりさんは5回目
答え：1回目、3回目、5回目
（3）道ア・道イ・道ウの長さの比
道ア、道イ、道ウの長さをそれぞれ「ア」「イ」「ウ」と書き、3本の長さの合計を全体＝ア＋イ＋ウとします。
2回目のB到着を使う
この時刻までに、のぞみさんはア・イ・ウを1本ずつ進んでいるので、進んだ長さは「全体」です。一方、ひかりさんは1回目にBへ着いたところなので、進んだ長さは「ア」です。
8回目のB到着を使う
この時刻までに、のぞみさんは3本分のまとまりを5回進んでいるので「全体の5倍」、ひかりさんは3本分のまとまりを3回進んでいるので「全体の3倍」です。同じ時間で進んだ長さの比が速さの比になるため、のぞみ：ひかり＝5：3です。
したがって、2回目のB到着のときに進んだ長さから、全体：ア＝5：3となります。全体を5、アを3とすると、イ＋ウ＝5－3＝2です。
5回目のB到着を使う
のぞみさんは3本分のまとまりを3回進むので「全体の3倍」です。ひかりさんは3回目にBへ着くまでに、ア・イ・ウ・ア・イと進むので、進んだ長さは全体＋ア＋イです。
速さの比5：3を使うと、のぞみさんが15だけ進む間にひかりさんは9だけ進みます。よって、全体＋ア＋イ＝9、すなわち5＋3＋イ＝9なので、イ＝1です。イ＋ウ＝2でしたから、ウ＝1です。
答え：ア：イ：ウ＝3：1：1
（4）3人の速さの比
ここまでで、のぞみさんとひかりさんの速さの比は5：3と分かっています。
こだまさんが初めてAへ戻るまでに通るのは、道アと道イです。道の長さをア＝3、イ＝1、ウ＝1としたので、こだまさんが進んだ長さは3＋1＝4です。
このとき、のぞみさんとの出会いは3回目で、それ以前の2回はAでもBでもありません。グラフ上で出会いを順に数えると、このAでの出会いは、のぞみさんが3本の道を2巡してAへ戻ったときです。
のぞみさんが進んだ長さは、3本の合計5の2倍で、5×2＝10です。同じ時間に、のぞみさんが10、こだまさんが4進むので、のぞみ：こだま＝10：4＝5：2となります。
答え：のぞみ：ひかり：こだま＝5：3：2
（5）ひかりさんとこだまさんが初めて出会う場所
速さを、ひかりさん3、こだまさん2として考えます。道の長さはア＝3、イ＝1、ウ＝1です。
こだまさんが道ウを通ってBへ着くまでに進む長さは3＋1＋1＝5なので、かかる時間は5÷2＝2と1/2です。この時点で、ひかりさんは3×2と1/2＝7と1/2進んでいます。ひかりさんは、ア・イ・ウの合計5を進んだあと、道アをBからAへ2と1/2だけ戻っています。道アの長さは3なので、Aまであと1/2の位置です。
ここから2人の位置を順に追うと、初めて同じ道で向かい合うのは、ひかりさんが次にAから道アへ入り、こだまさんが道アをBからAへ進んでいるときです。
ひかりさんがAから道アへ入るのは、出発から3と1/3後です。そのとき、こだまさんは道ア上のAから1と1/3の位置にいます。2人の間の長さ1と1/3を、向かい合う速さ3＋2＝5で進むので、出会うまでの時間は1と1/3÷5＝4/15です。
ひかりさんがAから進む長さは3×4/15＝4/5です。道ア全体の長さは3ですから、Aからの割合は4/5÷3＝4/15となります。
答え：道アの、地点Aから4/15の地点
検算
ア：イ：ウ＝3：1：1、速さを5：3：2とすると、のぞみさんがBへ2回目・5回目・8回目に着くまでに進む長さは5、15、25です。同じ時間にひかりさんが進む長さは3、9、15となり、Bへの1回目・3回目・5回目の到着と一致します。
また、（5）の出会いまでの時刻は、3と1/3＋4/15＝3と3/5です。ひかりさんの道ア上の位置はAから4/5、こだまさんの位置も、Bから進んだ長さが3－4/5＝2と1/5なのでAから4/5です。位置が一致することを確認できます。
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▶ 動画授業を見る（開成2025 大問3）大問4 正三角柱の切断面
正三角形を底面とする三角柱を平面で切り、切断面ABCの実際の形を調べる問題です。真上から見た形は実際の切断面そのものではありません。投影図で分かる角度と長さを、補助点K・H・Mを使って実際の三角形へ戻します。
最初に区別する2つの図
- 真上から見た図：点Aと点Kが重なって見えるため、見えている三角形ABCは三角形KBCとして考えます。
- 実際の切断面：点Aは底面の上にあり、AKは底面に垂直です。AB・ACは真上から見た長さより長くなります。
この2つを混ぜないことが、問題全体のいちばん大切なポイントです。
（1）空欄ア〜キ
ア・イ・ウ：三角形KBCの角
真上から見るとAとKが重なるので、三角形ABCの見かけの角90度・60度・30度は、三角形KBCの角になります。
- 角K＝90度
- 角B＝60度
- 角C＝30度
したがって、ア＝90、イ＝60、ウ＝30です。
エ：HKとCKの比
HはKからBCへ下ろした垂線の足です。三角形KHCはHが直角で、角Cが30度の直角三角形です。30度の向かい側の辺は斜辺の半分なので、
HK＝CK×1/2
となります。したがって、エ＝1/2です。
オ：三角形ABM・KBMの形
MはBCの中点です。直角三角形KBCでは、斜辺BCの中点MからK・B・Cまでの長さは等しくなります。また、角Cが30度なので、KBは斜辺BCの半分です。
よって、
KB＝BM＝KM
となり、真上から見た三角形ABM、つまり三角形KBMは正三角形です。したがって、オ＝正です。
カ：HCとHBの比
三角形KBMは正三角形で、KHは辺BMへ下ろした垂線です。正三角形の頂点から下ろした垂線は、向かい側の辺を半分に分けるので、
HB＝HM
です。またMはBCの中点なので、
BM＝MC
です。HB＝HMを1とするとBM＝2、したがってMC＝2です。
HC＝HM＋MC＝1＋2＝3
よって、HCはHBの3倍です。したがって、カ＝3です。
キ：HKとQRの比
長方形QTURを真上から見ると、BとCは左右の長い辺上にあり、MはBCの中点なので中央の線上にあります。Kも同じ中央の線上にあります。
正三角形KBMで、KからBMへ下ろした高さがKHです。この高さは、左右の辺の間隔QRのちょうど半分になります。
HK＝QR×1/2
したがって、キ＝1/2です。
答え：ア 90、イ 60、ウ 30、エ 1/2、オ 正、カ 3、キ 1/2
（2）三角形AHK・ABCと合同な三角形の作図
作図では、見た目をまねるのではなく、（1）で確定した長さと角度を順に移します。
三角形AHKの作図
- HKを、正三角形PQRの一辺QRの半分に取ります。
- KからHKに垂直な線を引きます。
- その垂線上に、正三角形PQRの高さと等しくなるようAKを取ります。
- AとHを結びます。
これで、Kが直角、HKがQRの1/2、AKが正三角形PQRの高さである三角形AHKができます。
三角形ABCの作図
- まず真上から見た三角形KBCを、角K＝90度、角B＝60度、角C＝30度、HK＝QRの1/2となる大きさで作ります。
- AKには、正三角形PQRの高さを使います。
- AKとKBを直角に置いた三角形から実際のABを取り、AKとKCを直角に置いた三角形から実際のACを取ります。
- BCを引き、Bを中心に半径AB、Cを中心に半径ACの弧をかきます。2つの弧の交点をAとして、AとB、AとCを結びます。
この方法なら、投影図の短いAB・ACをそのまま写さず、実際の長さを使った合同な三角形ABCになります。
検算
QRを1とすると、HK＝1/2、AKは正三角形の高さです。したがって三角形AHKは、短い辺・長い辺・斜辺が正三角形の半分を使った30度・60度・90度の直角三角形になります。
また、真上から見た三角形KBCでは、KB＝BM＝KMとなるため三角形KBMは正三角形です。HはBMの中点となり、HB：HC＝1：3が成立します。学校公表解答の空欄とすべて一致します。
答え一覧
| 大問 | 小問 | 答え |
|---|---|---|
| 1 | （1） | 0.815a |
| 1 | （2） | 205円 |
| 2 | （1） | 図2：23、図3：35 |
| 2 | （2） | 条件を満たす区切り方（本文図参照） |
| 2 | （3） | 学校公表解答例：46ポイント |
| 3 | （1） | グラフ（本文図参照） |
| 3 | （2） | 1回目、3回目、5回目 |
| 3 | （3） | ア：イ：ウ＝3：1：1 |
| 3 | （4） | のぞみ：ひかり：こだま＝5：3：2 |
| 3 | （5） | 道アの、地点Aから4/15の地点 |
| 4 | （1） | ア 90、イ 60、ウ 30、エ 1/2、オ 正、カ 3、キ 1/2 |
| 4 | （2） | 条件を満たす作図（本文図参照） |
理数館コメント
理数館の分析では、2025年度は「条件を短い言葉や比へ置き換え、その整理を最後まで保てるか」が合否を分けやすい構成です。大問1は単位と基準量を確実にそろえ、大問2では独自ルールを数え方の手順へ直すことが重要です。大問3は到着回数だけを追わず、3本の道を1まとまりとして距離を並べると見通しが立ちます。大問4は投影図と実際の切断面を分け、補助点がどちらの図に属するかを確認してください。
試験中は、難しい問題に出会ったときほど図や表へ条件を書き込み、途中で分かった比を使い回せる形に残します。作図問題は「それらしく描く」のではなく、使った面積、角度、長さ、重なり、空白を一つずつ点検するところまでが答案です。
開成対策へつなげる学習
- 単位換算は、長さをそろえる段階と面積の単位を直す段階を分けて練習する。
- 独自ルールの問題では「何を数えるか」「どこで数えるか」「何を掛けるか」を先に書く。
- 速さは時刻だけでなく、その時刻までに進んだ道の本数と合計距離を並べる。
- 立体の投影では、上から見た長さと実際の辺の長さを別の色や線で管理する。
- 答えが出た後に、問題文の全条件へ戻して数値・位置・単位を検算する。
まとめ
2025年度の開成算数では、計算力に加えて、条件を図・表・比へ正確に翻訳する力が必要です。各大問を解き直すときは、答えを覚えるのではなく「最初に何を見るか」「どの条件を先に使うか」「最後に何を検算するか」を自分の言葉で説明できる状態を目指しましょう。
開成算数の学習計画や苦手分野の整理は、体験授業またはLINEでご相談いただけます。
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