大学受験の数学で複素数平面が苦手な原因は？点・ベクトル・回転を図で整理する方法

複素数平面では、複素数を式だけで扱うと、絶対値・偏角・回転の意味が見えにくくなります。実部と虚部を座標として点を置き、式と図を往復することが重要です。

この記事では、点・ベクトル・極形式のつながりを整理し、掛け算や割り算を回転と拡大として捉える方法を解説します。

複素数平面が苦手になりやすい原因

実部と虚部の軸を取り違える

複素数z＝x＋yiは、横軸が実部x、縦軸が虚部yです。座標(x,y)として点を置きます。

絶対値を数の大きさだけで覚えている

|z|は原点から点zまでの距離です。二点間の距離は|z1－z2|で表せます。

積と回転の関係がつながっていない

複素数を掛ける操作は、絶対値を掛け、偏角を足す操作です。式変形だけでなく、図形の拡大と回転として確認します。

複素数平面を整理する四つの手順

手順1 x＋yiを座標へ移す

実部を横、虚部を縦に取って点を打ちます。共役複素数は実軸に関する対称点です。

手順2 差をベクトルとして読む

z2－z1は、点z1から点z2へ向かうベクトルを表します。距離や中点の問題では、まず差に注目します。

手順3 絶対値と偏角を確認する

原点からの距離をr、正の実軸からの角をθとして、z＝r(cosθ＋i sinθ)と表します。

手順4 積は拡大と回転に分ける

zにr(cosθ＋i sinθ)を掛けると、原点からの距離がr倍、偏角がθだけ増えます。

具体例で確認しよう

z＝1＋iは点(1,1)に対応し、絶対値は√2、偏角は45度です。これにiを掛けるとiz＝－1＋iとなり、点は(－1,1)へ移ります。絶対値は変わらず、原点を中心に反時計回りへ90度回転しています。

図形問題でよく使う表現

距離

点αと点βの距離は|α－β|です。|z－α|＝rは、中心α、半径rの円を表します。

垂直と回転

ベクトルにiを掛けると反時計回りに90度回転します。平行・垂直条件を式へ移すときに有効です。

内分点と中点

点を表す複素数は、座標と同様に加重平均で扱えます。中点は(α＋β)/2です。

答案を安定させる方法

図を描いた後、何を実数条件・絶対値条件・偏角条件へ変換するかを決めます。計算結果が得られたら、象限、距離、回転方向が図と一致するか確認します。

複素数平面を得点源にするために

複素数を点とベクトルの両方で捉え、絶対値は距離、積は拡大と回転と対応させます。式から図、図から式へ戻る練習を重ねることが大切です。

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