三角関数は公式が多く見えますが、単位円を基準にすると値の符号、周期、加法定理の意味が一つの図につながります。公式だけを別々に暗記すると、角度が変形された瞬間に判断が止まりやすくなります。
三角関数の考え方を一つの図にまとめる
単位円上の点のx座標がcos、y座標がsinです。角が回ると座標が変わり、その変化を横軸に角度、縦軸に座標として表したものがグラフです。tanはy/xなので、cosが0になる角で定義できません。
問題を解く基本手順
1 角度を単位円上に置き、象限を決める
角を単位円上に置き、終辺が第何象限にあるかを先に確認します。必要なら360°または2πの整数倍を除きます。
2 基準角を取り出し、sin・cos・tanの符号を確定する
基準角を求め、単位円の座標からsin・cosの符号を決めます。tanはcosが0でないときsin/cosです。
3 周期や対称性を使って基本角の値へ戻す
150°なら基準角30°へ直し、sin150°＝sin30°、cos150°＝－cos30°のように象限と基本角を組み合わせます。
4 式変形後は定義域と最大・最小、解の範囲を確認する
方程式の解は指定区間内のすべてを挙げ、最大・最小を問う場合は定義域の端点も確認します。
具体例で確認する
sin150°を求めるとき、150°は第2象限、基準角は30°です。第2象限ではsinが正なので、sin150°＝sin30°＝1/2です。一方cos150°は負で、cos150°＝－cos30°＝－√3/2となります。象限を先に決めることで符号ミスを防げます。
よくある間違いと直し方
角度だけ変形して象限による符号を確認しない
基準角の値が正でも、元の角の象限によってcosやtanは負になります。先に象限ごとの符号を記入しましょう。
度数法と弧度法を混在させる
30°とπ/6は同じ角ですが、式中で単位を混在させると周期を誤ります。問題の指定に合わせて統一します。
方程式で周期分の解を落とす
sinθ＝1/2なら基本解だけで終えず、指定範囲に入る第1・第2象限の解を確認します。
解き終えた後の見直しチェック
問題文の条件をすべて使ったか
角度の単位、象限、定義域の指定を読み落としていないか最初の式と照らします。
式の各数字を言葉で説明できるか
sin・cosの値は単位円の縦・横座標と一致するか、tanの分母cosが0でないか確認します。
別の条件へ戻して確かめたか
求めた角を元の三角関数の式へ代入し、指定区間の解を漏らしていないか確認します。
段階別に練習する方法
基礎段階
30°・45°・60°の値を単位円と直角三角形から説明できるようにします。
標準段階
第2〜第4象限の角や負の角で、符号と基準角を分けて処理します。
応用段階
三角方程式・不等式では、周期と定義域を組み合わせて解集合を確定します。
得点につなげる練習方法
特殊角の値は表だけでなく単位円へ書き込み、グラフでは0、最大・最小、周期の順に印を置きましょう。方程式は一般解を作ってから指定範囲へ絞ると、解の重複や抜けを減らせます。
誤答は「象限の符号」「基準角」「度数法・弧度法」「周期による解の漏れ」に分類しましょう。
三角関数を安定して解くために
単位円上の点のx座標がcos、y座標がsinです。角が回ると座標が変わり、その変化を横軸に角度、縦軸に座標として表したものがグラフです。tanはy/xなので、cosが0になる角で定義できません。 単位円で符号を決め、基準角で値を求め、最後に定義域を確認する順序を徹底しましょう。
正解した問題でも、解答の根拠を一文で言えるか確かめてください。手順と理由を結び付けておくことが、本番で条件が変わったときにも使える理解につながります。
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