過不足算では、「1人に何個ずつ配るか」を変えたときの余りや不足から、人数や品物の総数を求めます。言葉だけで処理すると、余りと不足を足すのか引くのかが曖昧になりがちです。
過不足算の考え方を一つの図にまとめる
配り方を変えたとき、1人あたりの個数差が全員分積み重なって全体の差になります。余る場合と不足する場合が並ぶなら、その間には「余り＋不足」だけの開きがあります。どちらも余る場合は、余りどうしの差を使います。
問題を解く基本手順
1 2つの配り方を「1人分」「結果」に分けて表へ書く
配り方ごとに「1人あたりの個数」「余り・不足」を一行に書き、余りを正、不足を負の状態として区別します。
2 余りと不足なら合計、同じ種類なら差として全体の開きを求める
一方が12個余り、もう一方が8個不足なら、必要な個数の開きは12＋8＝20個です。両方余る場合は余りの差です。
3 全体の開きを1人あたりの個数差で割り、人数を求める
1人あたり4個と6個なら、配る数の差は2個です。全体の開き20個を2個で割り、人数10人を求めます。
4 人数を一方の配り方へ戻し、品物の総数を求める
4×10＋12と6×10－8が同じ52個になるか確かめます。人数だけでなく、問われた総数まで答えます。
具体例で確認する
1人に4個ずつ配ると12個余り、6個ずつ配ると8個不足するとします。全体の開きは12＋8＝20個、1人あたりの差は6－4＝2個です。人数は20÷2＝10人、品物は4×10＋12＝52個です。6×10－8でも52個になります。
よくある間違いと直し方
余りと不足を機械的に引く
余りと不足は基準をはさんで反対側にあるので、12個余りと8個不足の開きは20個です。数直線で確認します。
配る個数の差ではなく大きい方の個数で割る
全体の開きは、配る個数を増やした分だけ生じます。人数を出す割る数は「6－4」の2個であり、6個ではありません。
人数を求めた段階で終え、品物の総数を答えない
問題が品物の総数を聞いているなら、人数を求めた後に「1人分×人数±余り・不足」で総数を出します。
解き終えた後の見直しチェック
問題文の条件をすべて使ったか
「余る」「足りない」を読み落としていないか、二つの配り方を表に戻して確認します。
式の各数字を言葉で説明できるか
人数を求める式の分子は余り・不足による全体の開き、分母は1人あたりの配布数の差になっているか確かめます。
別の条件へ戻して確かめたか
出した人数と総数を使って二通りの配り方を再現し、余り・不足が指定どおりになるか検算します。
段階別に練習する方法
基礎段階
余りと不足が一つずつ出る問題で、数直線の開きを足し算で求める練習をします。
標準段階
両方余る・両方不足する場合も扱い、開きが差になる理由を説明します。
応用段階
配布数が途中で変わる問題では、配る人数が同じか、配布対象が同じかを先に確認します。
得点につなげる練習方法
数直線に「余り」と「不足」を反対側へ置くと、両者の距離が足し算になる理由が見えます。答えが出たら、2通りの配り方で余り・不足が問題文どおりになるか必ず確かめましょう。
「余りと不足の符号」「1人分の差」「人数」「総数」のどこを取り違えたか記録しましょう。
過不足算を安定して解くために
配り方を変えたとき、1人あたりの個数差が全員分積み重なって全体の差になります。余る場合と不足する場合が並ぶなら、その間には「余り＋不足」だけの開きがあります。どちらも余る場合は、余りどうしの差を使います。 配り方の差が全員分でいくつになるかを押さえ、二通りの配布結果へ戻して検算しましょう。
正解した問題でも、解答の根拠を一文で言えるか確かめてください。手順と理由を結び付けておくことが、本番で条件が変わったときにも使える理解につながります。
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