3の倍数 ＋ 百の位 ＞ 十の位：条件付き整数の個数
1〜9の数字を1回ずつ使って、3けたの整数を作ります。
ただし、次の2つの条件をどちらも満たすこととします。
- 条件①：作った整数は3の倍数である
- 条件②：百の位の数字 ＞ 十の位の数字である
このような整数は全部で何個ありますか？
🔑 3の倍数の見分け方：各位の数字をすべて足した合計が3の倍数ならば、その数は3の倍数。
例）123 → 1＋2＋3＝6（3の倍数）→ 123は3の倍数 ✔
例）124 → 1＋2＋4＝7（3の倍数でない）→ 124は3の倍数でない ✗
つまり「百の位＋十の位＋一の位 の合計が3の倍数」になる3つの数の組を選べばよいです。
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9 ＝ 45（45は3の倍数）
1〜9の合計は45。どの3つを選んでも「残り6つの合計」が決まります。
「選んだ3つの合計」が3の倍数 ⟺「残り6つの合計」も3の倍数になります（なぜなら45自体が3の倍数だから）。
ですから、9つの数から3つ選んで合計が3の倍数になる組み合わせを全部探すことが次のステップです。
1〜9の数字は、3で割ったあまりで3つのグループに分けられます。
| 3で割ったあまり | このグループの数字 | 個数 |
|---|---|---|
| あまり0（3の倍数） | 3、6、9 | 3個 |
| あまり1 | 1、4、7 | 3個 |
| あまり2 | 2、5、8 | 3個 |
3つの数の合計が3の倍数になるのは、あまりの合計が0か3か6のとき。具体的には次の4パターンです。
| パターン | 3つのグループの選び方 | あまりの合計 | 組み合わせの数 |
|---|---|---|---|
| A | あまり0 から3つ | 0＋0＋0＝0 ✔ | 1通り（3,6,9のみ） |
| B | あまり1 から3つ | 1＋1＋1＝3 ✔ | 1通り（1,4,7のみ） |
| C | あまり2 から3つ | 2＋2＋2＝6 ✔ | 1通り（2,5,8のみ） |
| D | 各グループから1つずつ | 0＋1＋2＝3 ✔ | 3×3×3＝27通り |
合計の組み合わせは 1＋1＋1＋27 ＝ 30通り。
3つの数字が決まったら、それを並べて3けたの整数を作ります。
ただし条件②「百の位 ＞ 十の位」を満たさなければなりません。一の位は何でもよいです。
例：{3, 6, 9} の場合。3つの数がすべて異なるので、3つの並び方は 3×2×1＝6通り。
このうち「百の位 ＞ 十の位」になるものを数えます。
| 並び方 | 百の位 | 十の位 | 百＞十? |
|---|---|---|---|
| 369 | 3 | 6 | ✕（3＜6） |
| 396 | 3 | 9 | ✕（3＜9） |
| 639 | 6 | 3 | ○（6＞3） |
| 693 | 6 | 9 | ✕（6＜9） |
| 936 | 9 | 3 | ○（9＞3） |
| 963 | 9 | 6 | ○（9＞6） |
6通りのうち3通りが「百の位 ＞ 十の位」を満たします。
📌 ポイント：3つすべて異なる数の場合、「百 ＞ 十」「百 ＜ 十」「百 ＝ 十（この問題では起こらない）」のどちらかしかないので、ちょうど半分の3通りが条件を満たします。
パターン A・B・C それぞれ：3通り × 3パターン ＝ 9通り
例：あまり0から1つ、あまり1から1つ、あまり2から1つ選ぶ。
選んだ3つはすべて異なりますから、並び方は6通り。そのうちちょうど半分（3通り）が「百の位 ＞ 十の位」を満たします。
パターン D：27通りの組み合わせ × 各3通り ＝ 81通り
「1〜9から3つ選んで3けたを作る。3の倍数 ＋ 百＞十」……2つの条件が絡む「整数の個数」問題だ。 条件①は「数の性質（3の倍数）」、条件②は「並べ方（位の大小）」。この2種類の条件を分離して処理できるかどうかが勝負。
3の倍数 → 各位の合計が3の倍数。これを知っているかどうかが第一関門。
知っていれば「3つの数の合計が3の倍数になる組み合わせを探す」という方針が立つ。
1〜9を3で割ったあまりで3グループに分ける。あまり0：3,6,9 あまり1：1,4,7 あまり2：2,5,8
合計のあまりが0になる選び方は、「同じグループから3つ」か「各グループから1つずつ」の4パターン。
3つの数がすべて異なれば（この問題では必ず異なる）、6通りの並び方のうちちょうど3通りが「百＞十」を満たす。
→ 組み合わせの数 × 3 で一発。場合分けしなくてよい。
あまり0から3つのうち1つ：3通り × あまり1から1つ：3通り × あまり2から1つ：3通り ＝ 27通り。
掛け算になることを確認する。
(1＋1＋1＋27) × 3 ＝ 30 × 3 ＝ 90個。
📌 この問題の構造：「3つの数の組み合わせを決める（3の倍数条件）」→「並べ方の中で条件を満たすものを選ぶ（百＞十条件）」という2段階処理が核心。
「組み合わせ × 3」という計算に気づけるかどうかが、速く解けるかどうかを決める。
百の位を1〜9で固定し、次に十の位を「百の位より小さい数」で選び、最後に一の位を…としていくと、3の倍数条件を後からチェックしなければならない。
→ 百の位が1のとき、2のとき…と9パターン考えると膨大。整理が崩壊する。
{1,2,3}、{1,2,6}…と地道に列挙する。全部で30組あるので書き出すだけで時間がかかり、漏れも出やすい。
各グループがちょうど3個ずつという対称な構造を利用する。パターン D の27通りは「3×3×3」で一発計算。
3つの数がすべて異なるとき「百＞十」と「百＜十」はちょうど半々。この対称性を知っていれば、並べ方をいちいち書き出さずに「×3」で一発処理できる。
「どの3つを選ぶか（3の倍数条件）」と「どう並べるか（百＞十条件）」を独立に考えられる。この分離が計算ミスを防ぐ最大の理由。
「百＞十だから、百の位と十の位の2つを決めれば残りは一の位だ。だから2通りかな？」と考えてしまう。
→ 実際は一の位に残り1つが入るだけなので1通り…ではなく、3つの数の並べ方が全部で6通り → そのうち3通り。
「百の位と十の位の並び方だけ考えて、一の位を忘れる」のではなく「6通りのうち半分」という全体からの比で考える発想が身についていないから。
「あまり0から1つ（3通り）、あまり1から1つ（3通り）、あまり2から1つ（3通り）だから 3＋3＋3＝9通り」とたしてしまう。
→ 正しくは掛け算：3×3×3＝27通り。
「どちらかを選ぶ（どちらかの場合）→ 足し算」「両方を同時に選ぶ（かつ）→ 掛け算」という場合の数の基本ルールが整理されていないから。3つのグループから「同時に1つずつ」選ぶのは掛け算。
「合計が3の倍数になる3つを全部書き出す」→ 時間がかかり、かつ漏れが出る。
「あまりで分類する」という整理の手法を知らないか、知っていても「この問題でどう使うか」が結びついていないから。1〜9を見たら即「3グループに分けられる」と反応できるようにしておく。
問題文に「百の位 ＞ 十の位」としか書いていないのに、「一の位も降順でなければいけない」と勘違いし、条件を余分に課してしまう。
問題文を最後まで丁寧に読まないから。条件は「百の位 ＞ 十の位」だけ。一の位には制約がない。条件を書き出して確認する習慣が必要。
1〜9から3つ選んで3けたを作る（数字の重複なし）全通りの数を先に出してみましょう。
3つ選ぶ組み合わせの総数：9×8×7 ÷ 6 ＝ 84通り（組み合わせ）
それを3けたに並べる：84 × 6 ＝ 504通り（順列、全部の3けた）
このうち「3の倍数」はちょうど 504 × (30/84) ＝ 180通り。
さらに「百＞十」はそのうち半分 ＝ 90通り。
最速・ミスしにくい あまりで4パターン → 各×3 → 合計 の流れ。
「30組 × 3通り ＝ 90個」という計算は非常にシンプルで、途中でミスする余地がほとんどない。
確認用 別解の「504 × 30/84 × 1/2」は一見スマートだが、分数の計算で崩れやすい。本番では使わないこと。
| あまり0から | あまり1から | あまり2から | 合計 | 百＞十を満たす個数 |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 1 | 2 | 6 | 3個 |
| 3 | 1 | 5 | 9 | 3個 |
| 3 | 1 | 8 | 12 | 3個 |
| 3 | 4 | 2 | 9 | 3個 |
| … | … | … | … | 各3個 |
| 27組合計 | 81個 | |||
どの組み合わせも3つの数がすべて異なるので、確かに各3個が条件②を満たします。
「3の倍数」「あまりで分類」という知識を使って、組み合わせの構造を見抜く力。単なる知識ではなく、それを使う文脈を判断できるか。
「あまり0が3個、あまり1が3個、あまり2が3個」という対称性を即認識。パターンD ＝ 3×3×3 という掛け算に迷いなく入る。
「合計が3の倍数になる3つ」を探そうとして書き出しを始める。または「百＞十」の部分で場合分けしようとして時間切れになる。
「6通りの並べ方のうち半分（3通り）が百＞十を満たす」という対称性への気づき。これを言語化できるかが差になる。
「1〜9の合計が45で3の倍数。あまり0・1・2が各3個ずつ。パターンは4つ。A・B・Cが各1通り、Dが27通り。合計30通りの組み合わせ。3つ全部違うから並べて百＞十は半分 → ×3。30×3＝90個。」
▶ 「数の性質（3の倍数）」と「並べ方の条件（百＞十）」を分離して処理するという2段階の構造。この分離ができるかどうかがすべて。
▶ 「あまりで分類して組み合わせを構造的に数える」は場合の数の最重要テクニック。3の倍数・9の倍数・奇数偶数など、様々な場面で使える。
▶ 「すべて異なる数の並べ方 → 大小の条件は半分」という対称性もセットで身につけよう。
9の倍数の判定も「各位の合計が9の倍数」。あまりで分類する発想がそのまま使える。
一の位が偶数 ＝ 2・4・6・8から選ぶ、という条件も「グループで分けて掛け算」で整理できる。
すべて異なる数の並べ方ならば、大小条件を満たすものはちょうど半分。この発想は「整数の個数」問題で何度も使える。
- 「3の倍数」が出たら → 各位の合計が3の倍数かどうかで判断。あまりで0・1・2の3グループに分けて組み合わせを構造的に数える。
- 「各グループから1つずつ選ぶ」は足し算ではなく掛け算（3×3×3＝27）。「かつ」の条件は掛け算が鉄則。
- 「すべて異なる3つの数の並べ方のうち、百＞十を満たすのは半分（×3）」という対称性を反射的に使えるようにする。
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