📘問題
問題2
AさんとBさんが同じ地点から同時に出発し、池のまわりを同じ向きに歩きます。
AさんとBさんの速さの比は 5：3 です。
AさんがBさんにはじめて追いつくのは、Aさんが池を何周したときですか。
📗通常解説
① 「追いつく」とはどういう状態か、まず確認しよう
AさんとBさんは同じ向きに歩いています。 同じ地点を同時に出発したので、最初は２人は並んでいます。
池のまわりなので、グルグルと同じコースをぐるぐる歩きます。 Aさんの方が速いので、だんだんAさんがBさんより前へ出ていきます。 そして Aさんが Bさんより 「池１周分だけ多く歩いた」 とき、 Aさんは後ろから追いかけて Bさんに追いつきます。
２人が同じ向きに池をぐるぐる歩くイメージ図
② 速さの比から「歩いた距離の比」を考える
同じ時間が経ったとき、速い人ほどたくさん歩きます。 時間が同じなら、歩いた距離の比＝速さの比 になります。
Aさんが歩いた距離：Bさんが歩いた距離 ＝ 5：3たとえば、Bさんが3メートル歩くとき、Aさんは5メートル歩く、という意味です。
③ 「追いつく条件」を式にする
「追いつく」とは、 AさんがBさんよりも池１周分だけ多く歩いた状態 です。
池１周の長さを 1 とします（単位はどんな数でもOKです）。
Aさんが歩いた距離 − Bさんが歩いた距離 ＝ 1（周）④ 比を使って「何周か」を求める
Aさんが歩く距離を 5、Bさんが歩く距離を 3 とおきます（比の数字をそのまま使います）。
差は：5 − 3 ＝ 2
この「2」が、池１周分にあたります。
Aさんが歩く距離は「5」なので、池１周（＝2）に対して
5 ÷ 2 ＝ 5/2 ＝ 2.5周（2周半）⑤ 確かめ
| 人物 | 歩いた距離（比） | 池の周回数 |
|---|---|---|
| Aさん | 5 | 5 ÷ 2 ＝ 2.5周 |
| Bさん | 3 | 3 ÷ 2 ＝ 1.5周 |
２人の差：2.5 − 1.5 ＝ 1周 ✓
Aさんはちょうど Bさんより 1周分多く歩いたので、追いついています！
これが「はじめて追いつく」瞬間です。
🧠初見での考え方
開成受験生が試験会場で問題を見た瞬間、頭の中でどう動くかを実況します。
「同じ向きに歩く」「速さの比が5：3」……これは「追いつき算」だ。 「反対向き」じゃないから「出会い算」ではない。すぐ分類できる。
「何周したとき？」という問いだから、距離は比のまま扱う方が楽。 実際の池の長さは出てこない。→ 池１周を「1」として、比で考えればいい。
「追いつく＝差が１周分」というルールをすぐ思い出す。 池の問題では、追いついた瞬間にAはBよりちょうど1周多く歩いている。
差が2周分になったら「2回目に追いつく」、3周分なら「3回目」……という構造も頭に描く。 でも今回は「はじめて」なので差＝1周でOK。
速さの比 5：3 → 距離の比も 5：3（時間が同じだから）。
差は 5−3＝2。この「2」が池１周に対応する。
Aさんは「5」歩いたとき追いつく。 池１周＝「2」だから、A の周回数は 5÷2＝2.5周。
ここまで30秒以内で方針が確定する。あとは確認だけ。
注目すべき条件チェックリスト
🔍なぜその方針を選ぶのか
「比で考える」のはなぜか？
池の長さが「300m」「500m」などと具体的に与えられていれば、 それを使って計算もできます。 でも今回は池の長さがありません。
だから 池１周を「1」と置いて比のまま計算する のが最も速く、 間違いが少ない方法です。
もし「池を300mと仮定して……」と考え始めると、 最後に「何周か」を求めるためにまた割り算が必要になり、 一度計算した手間がムダになります。 最初から「1周＝1」と置けば、その手間がゼロになります。
「距離の差が1周＝追いつく」はなぜ成り立つのか？
AさんがBさんの「真後ろ」からスタートし（同じ地点）、 同じ向きにぐるぐると回ります。
Aが速いので少しずつ前へ。 ある瞬間、AがBより1周分だけ多く歩いたとき、 池の形が「丸い」ので、Aは一周まわってBの背中に追いつきます。
これを 「直線に引き伸ばして考える」 と、 「Aが Bより 1周分だけ前にいる＝追いついた」と理解できます。
池を直線に引き伸ばしたイメージ図（差が1周になる様子）
「時間を同じにする」と「距離の比＝速さの比」になる、なぜか？
距離＝速さ×時間 という公式はわかりますね？
２人とも 同じ時間だけ 歩いているので、
Aの距離 ÷ Bの距離 ＝ (Aの速さ × 時間) ÷ (Bの速さ × 時間) ＝ Aの速さ ÷ Bの速さ ＝ 5 ÷ 3時間の部分が約分されて消えるので、 距離の比＝速さの比 が成り立ちます。 これが「比だけで全部解ける」根拠です。
⚠️典型ミス
速さの比が 5：3 だから、「Aが5周するときBは3周」と考えて
「Aが5周したとき」と答えてしまう。
「差が何周になったとき追いつくか」をきちんと考えず、 なんとなく「差が1周＝追いつく」「差が2周＝また追いつく」という構造を理解していない。
「池の長さは300mとして…」と具体的な数値を設定し、 速さを「Aは毎分50m、Bは毎分30m」などと決めて計算する。 途中で複雑になり、「何周か」を求めるとき計算ミスが起きやすい。
速さの和を使って「1周 ÷（5+3）＝ 1/8」などと計算してしまう。
・反対向き → 和 が1周になったとき出会う
まず「向き」を確認してから方針を決める習慣を持とう。
Bさんが 3÷2＝1.5周 と求まるが、これを答えにしてしまう。 問いは「Aさんが何周したとき」なので、Aの周回数 5÷2＝2.5周 が正解。
💡別解
AとBの速さの比は 5：3。 池1周を距離「1」とする。
Aが池を 1周 するのにかかる時間を「1÷5＝1/5」、 Bが池を 1周 するのにかかる時間を「1÷3＝1/3」とする。
Aがちょうど n 周したとき、Bは何周しているか？
Aが n周する時間 ＝ n × (1/5) ＝ n/5このとき Bが歩いた距離 ＝ (n/5) × 3 ＝ 3n/5 周
「追いつく」条件：AのほうがBよりちょうど1周多い
n − 3n/5 ＝ 15n/5 − 3n/5 ＝ 1
2n/5 ＝ 1
n ＝ 5/2 ＝ 2.5周
→ Aが 2.5周（2周半） したとき、はじめて追いつく。
単位時間（たとえば1分）あたり、AはBより
5−3＝2 の距離だけ多く進む。
池１周＝「5と3の差の何倍か？」を考える。
池１周分の差 ÷ 単位時間の差 ＝ (5−3) ÷ (5−3) ＝ 1つまり、「差が2になる」のが１単位時間。そのときAが歩いた距離は「5」。 池１周＝差の「2」なので、Aの周回数は 5÷2＝2.5周。
A が1周する時間を3、Bが1周する時間を5（速さの逆数の比）とする。 ＊速さ5：3 → １周にかかる時間の比は 3：5
| 経過時間（比） | Aの周回数（÷3） | Bの周回数（÷5） | 差 |
|---|---|---|---|
| 3 | 1 | 3/5 | 2/5 |
| 6 | 2 | 6/5 | 4/5 |
| 9 | 3 | 9/5 | 6/5 |
| 15 | 5 | 3 | 2 |
差が「2」（＝池１周×２）になるのは時間15のとき。
でも「はじめて追いつく」のは差が初めて1周になるとき。
時間 15÷2＝7.5 のとき差がちょうど1周＝Aは 7.5÷3＝2.5周。
＊この方法は確認に使えますが、表を作る手間がかかります。本番では別解①か通常解法が速い。
本番でおすすめの解法は？
最速・最安全
通常解法（比だけで解く）
速さの比 5：3 → 差は 5−3＝2 → 池１周＝2 → Aの周回数＝5÷2＝2.5周。
この3ステップで30秒以内に解けます。ミスが最も少ない。
確認用
別解①（方程式的な考え方）
検算したいとき、または「なぜ？」を確かめたいときに使う。
時間がかかる
別解③（表を作る）
整理には役立つが本番では時間が惜しい。理解を深めるための練習用。
🏆開成で差がつくポイント
この問題で本当に問われている力
合格者と不合格者の違い
- 問題を読んで「追いつき算」と即分類
- 「比のまま」で全て処理する
- 差 5−3＝2 が「池１周」と気づく
- 「Aの周回数を求める」と最後まで意識
- 確認（検算）まで30秒で完了
- 「池の長さが書いてない…どうしよう」で止まる
- 具体的な数を設定して計算が複雑化
- 速さの比 5：3 をそのまま答えにしてしまう
- 「Bの周回数」を求めてしまう
- 確認をしない（ミスに気づかない）
開成特有の思考ポイント
開成の問題では、この問題を単純に出すことはまずありません。 この問題の構造（追いつき＝差が1周）に、 「途中で速さが変わる」「複数人が同時に歩く」「池の形が違う」 などの条件が加わります。
だから「なぜ差が1周＝追いつくのか」を言葉で説明できる状態にしておかないと、 条件が複雑になった瞬間に対応できなくなります。
「公式を覚えた」ではなく「原理から考えられる」ことが、開成で差がつく根本です。
📚この問題から学ぶべきこと
この問題の本質
追いつき問題の核心は 「差が1周になる＝追いつく」 という理解。
そして「比だけで解ける」問題には、具体的な数を持ち込まないこと。 この２つが身につけば、池の問題の基本形はすべて応用できます。
他の問題への応用
今後の学習に活かす方法
暗記より理解 「追いつき算の公式」として丸覚えしないこと。 「なぜ差が1周になるのか」を友達や親に説明できるまで理解を深めよう。
比を使い切る 「比の問題には比で答える」。具体的な数値に変換する誘惑に負けないこと。
確認を習慣に 求めたA・Bの周回数を代入して「差がちょうど1周になるか」を必ず確認する。 この確認に10秒かける習慣が、ミスを大幅に減らす。
問題文を最後まで読む 「Aが何周か」「Bが何周か」「2人が出会う回数は」など、 問いの文末を最初に丸で囲んでから計算に入ること。
Aの周回数 ＝ 5 ÷ 2 ＝ 2周半（5/2周）
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