三角形の2本のセビアンと交点
「3つの面積の連立」で解く技術
三角形ABCがあります。
辺BC上に点Pを、BP：PC＝1：2 となるように取ります。
辺AC上に点Qを、AQ：QC＝3：1 となるように取ります。
線分APとBQの交点をRとします。
三角形ABRと三角形PQRの面積比を求めなさい。
△ABC・点P(BC上)・点Q(AC上)・交点R
まず△ABCの全体の面積を S とおきます。
次に、交点Rが△ABCの中を3つの三角形に分けることに気づきます。
交点R は△ABCの内部にあるので、次の3つの三角形にぴったり分割されます。
△ABR ＋ △BCR ＋ △CAR ＝ △ABC（全体）
これを使って面積を式で表します。
それぞれの面積に名前をつけます。
線分APは頂点Aから辺BC上の点Pへの直線です。
R はこの線分AP の上にあります。
ここで、「底辺が同じなら面積の比＝高さの比」という考え方を使います。
底辺をAB（辺AB）に固定して考えます。
△ABRの「高さ」はABから点Rまでの距離。
△ABPの「高さ」はABから点Pまでの距離。
R はAP上にあるので、AR：RP ＝（AからRまで）：（RからPまで） の比で高さが決まります。
よって：△ABR ÷ △ABP ＝ AR ÷ AP
同じように、底辺をBC（辺BC）に固定して考えます。
RはAP上にあるので、BCからの高さは次のようになります。
△BCRの「高さ」＝ BCから点Rまでの距離。
△BCAの「高さ」＝ BCから点Aまでの距離。
R は線分AP上にあるので、
（BCからRまでの高さ）：（BCからAまでの高さ）＝ RP：AP
（RはPに近い分だけ高さが低い）
よって：△BCR ÷ △BCA ＝ RP ÷ AP
これと①を合わせると：
△ABR ÷ △ABP ＝ AR ÷ AP → x ÷ (S ÷ 3) ＝ AR ÷ AP △BCR ÷ S ＝ RP ÷ AP → y ÷ S ＝ RP ÷ AP
AR÷APとRP÷APを足すと必ず1になります（全体だから）。
よって：
同じ考え方で、今度は「RはBQ上にある」ことを使います。
BQは頂点BからAC上の点Qへの直線です。
底辺をAB（辺AB）に固定：
△ABR ÷ △ABQ ＝ BR ÷ BQ（高さ比）
底辺をAC（辺AC）に固定：
RはBQ上なので（ACからRまでの高さ）÷（ACからBまでの高さ）＝ RQ÷BQ
△ACR ÷ S ＝ RQ ÷ BQ
まず△ABQの面積を求めます。
△ABQとQCBはACを底辺として考えると、AQ：QC＝3：1なので：
これを使うと：
x ÷ (3S ÷ 4) ＋ z ÷ S ＝ 1 （BR÷BQ と RQ÷BQ を足すと1） 4x ÷ (3S) ＋ z ÷ S ＝ 1 4x ÷ 3 ＋ z ＝ S → 4x ＋ 3z ＝ 3S …（式2）3つの式を整理します。
式0：x ＋ y ＋ z ＝ S式1：3x ＋ y ＝ S
式2：4x ＋ 3z ＝ 3S
式0から式1を引きます：
（式0）−（式1）：z − 2x ＝ 0 → z ＝ 2x …（A）（A）を式2に代入：
4x ＋ 3×2x ＝ 3S4x ＋ 6x ＝ 3S
10x ＝ 3S
x ＝ 3S ÷ 10
続いて y と z も求めます：
z ＝ 2x ＝ 6S ÷ 10 ＝ 3S ÷ 5式1より：y ＝ S − 3x ＝ S − 9S ÷ 10 ＝ S ÷ 10
確認：
x ＋ y ＋ z ＝ 3S/10 ＋ S/10 ＋ 6S/10 ＝ 10S/10 ＝ S ✓
残るは△PQRの面積です。P、Q、Rの3点を頂点とする三角形を、
すでに求めた面積から引き算で求めます。
まず△PCQの面積を求めます。
PはBC上（PC＝BC×2/3）、QはAC上（QC＝AC×1/4）、C は頂点です。
△PCQとCBAは頂点Cを共有し、
底辺PCはBCの2/3、底辺QCはACの1/4。
「角C」が共通なので：
△PCQ ÷ △BCA ＝ (PC÷BC) × (QC÷AC) ＝ 2/3 × 1/4 ＝ 1/6
△PCQ ＝ S ÷ 6
次に、四角形PCRQ（頂点がP・C・R・Qの四角形）の面積を求めます。
△BCRとBRQをもとに：
△BCQの面積を求めます。
BQはBからQへ、RはBQ上にあります。
もっとシンプルに：△BCQはAQ：QC＝3：1より
△BCQ ＝ S − △ABQ ＝ S − 3S/4 ＝ S/4RはBQ上にあり、△BCR（＝y＝S/10）を使うと：
△CRQ ＝ △BCQ − △BCR ＝ S/4 − S/10 ＝ 5S/20 − 2S/20 ＝ 3S/20また、RはAP上にあり、△CAR（＝z＝3S/5）を使うと：
△AQR ＝ △ABQ − △ABR ＝ 3S/4 − 3S/10 ＝ 15S/20 − 6S/20 ＝ 9S/20検証：△AQR ＋ △CRQ ＝ 9S/20 ＋ 3S/20 ＝ 12S/20 ＝ 3S/5 ＝ z ＝ △CAR ✓
続いて△BPR（Rは△ABP内にある）：
△ABP ＝ S × BP/BC ＝ S/3△BPR ＝ △ABP − △ABR ＝ S/3 − 3S/10 ＝ 10S/30 − 9S/30 ＝ S/30
四角形PCRQの面積：
四角形PCRQ ＝ S − △ABR − △BPR − △AQR＝ S − 3S/10 − S/30 − 9S/20
通分（分母60）：
＝ 60S/60 − 18S/60 − 2S/60 − 27S/60 ＝ 13S/60四角形PCRQを対角線PQで△PQRと△PCQに分割すると：
△PQR ＝ 四角形PCRQ − △PCQ ＝ 13S/60 − S/6 ＝ 13S/60 − 10S/60 ＝ 3S/60 ＝ S/20△PQR ＝ S/20 △ABR ÷ △PQR ＝ 6S/20 ÷ S/20 ＝ 6 ÷ 1
── 開成受験生が実戦でどう頭を動かすべきか、順番に追います。
交点を直接求めようとすると、2本の直線の方程式を立てて連立する必要があります。
これは中学以上の数学の知識が必要で、小学生には使えません。
一方、「面積をx・y・zでおく」方法は、比と足し算だけで解けます。
この問題で一番大切な技術は、「点が直線上にある」という条件を「面積の比」に翻訳することです。
「高さが同じなら底辺の比＝面積の比」という小学生の知識で全て解けます。
この翻訳ができると、交点問題の9割は同じ方法で解けるようになります。
△PCQはPもQもCも△ABCの頂点・辺の上にある特殊な三角形です。
頂点Cは共通で、PC÷BCとQC÷ACの積＝△PCQ÷△ABC という「2辺と夾角（はさむ角）が同じ三角形の面積比」の性質を使います。
これは「底辺の比×底辺の比＝面積の比（角が共通）」という考え方で、正確に覚えておく価値があります。
x＝3S/10 が求まったら、AR÷AP も計算できます。
△ABR ÷ △ABP ＝ AR ÷ AP（3S/10） ÷ （S/3） ＝ AR ÷ AP
9/10 ＝ AR ÷ AP → AR：AP ＝ 9：10 → AR：RP ＝ 9：1
同様に BR：RQ も求めます：
△ABR ÷ △ABQ ＝ BR ÷ BQ（3S/10） ÷ （3S/4） ＝ BR ÷ BQ
12/30 ＝ BR ÷ BQ ＝ 2/5 → BR：RQ ＝ 2：3
AR：RP＝9：1、BR：RQ＝2：3 が判明しました。
ここから△PQRを「△APB から各部分を引く」方法でも求められます。
面積比の「星型パターン」と呼ばれる整理法を使います。
交点R の△ABCに対する重さを比で表すと：
R を「A・B・Cから見た重さ」の比で表すと A：B：C ＝ 1：3：6（計10）。
△ABR ＝ S × 3/10（Cの重さ3、全体10）、
△BCR ＝ S × 1/10（Aの重さ1）、
△CAR ＝ S × 6/10（Bの重さ6）。
この考え方は中学受験上級者が速く解くために使います。
「条件を面積の式に翻訳する」技術があるか
「RがAP上にある」という位置条件を「高さの比＝面積の比」に翻訳できるかどうかが最初の関門。この技術を持っているかどうかで合否が分かれる。
「3分割の枠組み」を瞬時に設定できるか
合格者は問題を見た瞬間に「x＋y＋z＝S」の枠組みを設定し、そこに条件を当てはめていく。不合格者は「どこから手をつければいいかわからない」と止まる。
△PQRを「引き算で求める」発想があるか
△PQRをゼロから面積公式で求めようとすると行き詰まる。「大きな領域から小さな部分を引く」という引き算の発想が、開成算数で頻繁に求められる思考パターン。
「2辺と夾角が共通な三角形の面積比」を知っているか
△PCQ＝S/6 の計算をスムーズにできるかが後半の分水嶺。この「角Cが共通・2辺の比の積＝面積比」の性質は、図形の類題で何度も出てくる必須知識。
「交点の面積比」は暗算で解けるものではありません。
①3分割の設定 → ②条件の翻訳（高さ比＝面積比）→ ③連立 → ④引き算で残りの面積 という4ステップの組み立てが本質です。
答えの「6：1」という整数比が出ることで、計算が正しかったことを確認できます。
- 「三角形内の2本のセビアン交点の面積比」→ 完全に同じ手法（BP:PC や AQ:QC が変わるだけ）
- 「チェバの定理の証明」→ x, y, z の連立が、実はチェバの定理そのものを導いている
- 「四角形内の対角線の交点」→ 同じ「分割して比を連立する」発想が使える
- 「台形の面積比問題」→「角が共通な三角形の面積比＝2辺の比の積」が頻出
この問題が解けたら、BP:PCとAQ:QCの比をいろいろ変えて自分で問題を作ってみましょう。
例えば BP:PC＝1:1、AQ:QC＝1:1 にすると△ABR:△PQRはどうなるか？
（答えは 2:1 になります。中線の場合の特殊ケース）
このような「比を変えたらどう変わるか」を試す習慣が、開成算数の本番で初見問題に対応できる力を育てます。
「交点＝3分割してx・y・z でおく」「条件＝高さの比に翻訳して式にする」「残りの面積＝引き算で求める」
——この3技術を組み合わせれば、三角形の交点問題は必ず解けます。
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