集合算は、二つ以上の条件に当てはまる人や物を数える問題です。足し算だけで処理すると、両方に当てはまる部分を二度数えてしまいます。
集合算の考え方を一つの図にまとめる
Aの人数とBの人数を足すと、AとBの両方に入る人数は二度含まれます。そのため「少なくとも一方」はA＋B－両方で求めます。全体から少なくとも一方を引けば、どちらにも当てはまらない人数が出ます。
問題を解く基本手順
1 全体を長方形、二つの条件を重なる円で描く
長方形を全体40人とし、その内側にA・Bの二つの円を重ねて描きます。
2 最初に「両方」の人数を重なり部分へ入れる
「両方好きな人」10人は二つの円が重なる部分へ一度だけ記入します。
3 Aだけ、Bだけをそれぞれ引き算で求める
Aだけは24－10＝14人、Bだけは18－10＝8人です。重なりを二重に数えないようにします。
4 長方形の残りを「どちらでもない」として確認する
少なくとも一方は14＋10＋8＝32人、どちらでもない人は40－32＝8人です。四つの部分の合計を確認します。
具体例で確認する
40人のクラスで算数が好きな人が24人、理科が好きな人が18人、両方好きな人が10人なら、少なくとも一方が好きな人は24＋18－10＝32人です。どちらも好きでない人は40－32＝8人です。
よくある間違いと直し方
AとBを足したまま重なりを引かない
Aの24人とBの18人を足すと両方に属する10人を二度数えます。重なりを一度引きます。
「少なくとも一方」と「両方」を取り違える
「少なくとも一方」はAだけ・Bだけ・両方を含みます。「両方」と同じ意味ではありません。
全体の人数を円の合計だと思う
長方形の全体にはどちらでもない人も含まれます。円の外側の人数を忘れないようにします。
解き終えた後の見直しチェック
問題文の条件をすべて使ったか
全体・A・B・両方の人数を別々に書き、問題文の「少なくとも」「どちらも」の意味を確認します。
式の各数字を言葉で説明できるか
Aだけ、Bだけ、両方、どちらでもない、の四領域に人数を重複なく入れます。
別の条件へ戻して確かめたか
四領域の合計が全体人数に一致し、各円の合計がA・Bの人数に一致するか検算します。
段階別に練習する方法
基礎段階
二つの集合の重なりが与えられる問題をベン図で整理します。
標準段階
「どちらでもない」から逆算して「少なくとも一方」を求める問題に進みます。
応用段階
三つの集合や条件付きの問題では、領域を細かく分けて二重計上を防ぎます。
得点につなげる練習方法
問題文の「両方」「少なくとも」「どちらも～ない」に印を付け、重なりから数字を置きましょう。三つの集合でも同じ考え方で、最も重なりの深い部分から埋めると整理しやすくなります。
「重なりの二重計上」「少なくとも一方の解釈」「円の外側の人数」を誤答の原因として記録しましょう。
集合算を安定して解くために
Aの人数とBの人数を足すと、AとBの両方に入る人数は二度含まれます。そのため「少なくとも一方」はA＋B－両方で求めます。全体から少なくとも一方を引けば、どちらにも当てはまらない人数が出ます。 集合算では四つの領域を重複なく数え、全体・A・Bの人数が一致するか確かめることが大切です。
正解した問題でも、解答の根拠を一文で言えるか確かめてください。手順と理由を結び付けておくことが、本番で条件が変わったときにも使える理解につながります。
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