開成対策講座　第７講　問題５

問題

通常解説

この問題で起きていること（全体像）

太郎君と花子さんは、ふつうの「出会い算」のように1回だけ出会うのではありません。出会ったあとも進み続け、相手の町に着いたら折り返してまた歩き続けます。だから、2人は道の上で何度も出会うことになります。

ここで一番大事なのは、「2人の速さの和」は、どんな場面でも変わらないということです。太郎君が向きを変えても、花子さんが向きを変えても、2人合わせて1分間に進む距離（速さの和）はずっと同じです。この性質を使うのが、この問題の中心の考え方になります。

(1) 速さの比を求める

2回目の出会いの正体をつかむ

太郎君と花子さんの速さは違います（問題文に「一定の速さ」とあるだけで、同じ速さとは書いていません）。もし花子さんの方が速ければ、花子さんは太郎君よりも先に相手の町（太郎君から見るとA町）に着いて、先に折り返します。

つまり、2回目の出会いが「1回目と同じような正面衝突」とは限らないのです。花子さんが先に町に着いて折り返し、まだA町方向に向かっている太郎君に追いつく形（後ろから追いかける形）で出会う可能性があります。

比で整理する（小学生向けのやり方）

太郎君の速さを①、花子さんの速さを□として、AB間の道のりを①と□を使って表すことを考えます。ですが、もっと見通しよく解くために、ここでは「1回目の出会いの位置」を使って整理します。

初見での考え方

問題を見た瞬間、何に目がいくか

どの条件が重要か、何を比で見るか

最終的にどの単元・どの考え方として処理するか

なぜその方針を選ぶのか

なぜ「速さの和が一定」という性質を最初に使うのか

太郎君と花子さんの速さはどちらも分かっていない。普通なら「速さを①、□とおいて式を立てる」と考えたくなるが、未知数が2つあると式も2本必要になり、見通しが悪くなる。「速さの和」は、向きが変わっても変化しない量なので、これを基準にすれば未知数を1つに減らして考えられる。これが、いきなり速さを文字でおかずに「①（AB間の道のり）」を基準にする理由。

なぜ「24分おきに同じ出会い方をする」と決めつけてはいけないのか

もし2人の速さが同じなら、2人は道のまん中で出会い続け、出会いの間隔はずっと一定になる。しかし、この問題では速さが違うとしか書かれていない。「24分、48分、72分…」という単純な等間隔を仮定してしまうと、40分という数字と矛盾する。矛盾が出た時点で「単純な周期ではない」と気づき、別の構造（追いつき）を疑う姿勢が必要。これは「計算で押し切る」のではなく、「条件と矛盾しないか検証する」という方針の選び方そのもの。

なぜ図を描くのか

この問題は、頭の中だけで「太郎が進んで、花子が進んで、折り返して…」と追いかけると、途中で位置関係を見失いやすい。図に書き出すことで、「いつ」「どこで」「どちらが」折り返したのかを、目で見て確認しながら整理できる。特に、出会いの種類（正面衝突か追いつきか）を取り違えないために、図は欠かせない。

なぜ「出会い算」と「追いつき算」を分けて考えるのか

1つの式で一気に解こうとすると、向きの変化（折り返し）をうまく式に反映できず、式が複雑になりすぎる。「向かい合って進む区間」と「同じ方向に進む区間（追いかけっこ）」を分けて、それぞれに合った考え方（出会い算は速さの和、追いつき算は速さの差）を使う方が、計算量も少なく、ミスも減る。これが、場合分けをする本当の理由。

別の考え方ではなぜ苦しいか

典型ミス

ミス①：出会いの間隔を24分おきだと決めつける

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なぜそのミスが起こるか：多くの「2人が出会う」問題は、速さの和が一定であることから等間隔で出会う設定が多い。過去に解いた似た問題のパターンを無意識に当てはめてしまい、「速さが違うと、途中で折り返しが起きて間隔が変わる」という今回特有の構造に気づけない。

ミス②：2回目の出会いも「正面衝突」だと思い込む

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なぜそのミスが起こるか：「2人が出会う」という言葉だけを見て、出会い方は全部同じだろうと思い込んでしまう。問題文の「相手の町に着いたらすぐに折り返す」という一文を、図を描く段階で反映し忘れると、このミスが起きる。

ミス③：「2人合わせて進んだ距離」と「2人の間の距離」を混同する

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なぜそのミスが起こるか：「速さの和」が便利な性質だと知っているからこそ、どんな場面でも速さの和で押し切ろうとしてしまう。「向かい合っている区間」と「同じ方向に進んでいる区間（追いかけっこ）」を区別せずに、ひとつの式で済ませようとすると起こる。

ミス④：太郎君と花子さんのどちらが速いか、最初に決めつける

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なぜそのミスが起こるか：「太郎君」が先に問題文に出てくるため、なんとなく太郎君を主役のように扱い、太郎君の方が速い・先に動くという先入観を持ってしまう。実際にどちらが速いかは、出会いの間隔のズレ方（24分→40分と、だんだん長くなっている）から判断する必要がある。

ミス⑤：(2)の比を使わず、最初から実際の速さで計算しようとする

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なぜそのミスが起こるか：(1)と(2)を別々の問題だと捉えてしまい、(1)で求めた比を(2)でそのまま活用するという「小問同士のつながり」を意識できていない。中学受験算数では、小問の答えは次の小問の道具になることがほとんど。

別解

別解：花子さんの「歩いた距離の合計」に注目する解き方

通常解説では「正面衝突→追いつき」と場面を分けて考えたが、もっと短い道のりで(1)の比を出す方法がある。「歩いた距離の合計」に注目する解き方で、開成本番でも狙える速い解法。