開成対策講座　第７講　問題３

辺は全部で12本、1本の長さは12cmなので、
12 × 12 ＝ 144 cm
もし無駄なく1回ずつだけで全部の辺を通れるなら、答えは144cmになるはずです。
まずこの「理想の数字」を出しておくことが、この問題の出発点です。

ここで考えるのは、「1つの頂点を通るとき、辺は2本セットで使われる」ということです。
頂点に到着する辺が1本、そこから出発する辺が1本——必ずペアで使われます。

しかも今回は「出発した頂点に戻ってくる」旅なので、
スタート地点も「最初に出ていく辺」と「最後に戻ってくる辺」がペアになります。
つまり、8つの頂点すべてで、使う辺の本数は偶数本でなければならないのです。

ところが、立方体のどの頂点を見ても、集まっている辺はちょうど3本です。
3本のうち2本はペアを作れますが、残りの1本だけは相方がいません。
これが8個の頂点すべてで同時に起こってしまいます。

つまり、全部の辺をちょうど1回ずつ通るだけでは、つじつまが合わない頂点が8個もできてしまい、
1回ずつ・144cmでは歩き切れないことがわかります。

1つの頂点について、辺をもう1本分余分に通れば、
3本 ＋ 1本 ＝ 4本（偶数）
となり、つじつまが合うようになります。

ここで大事なのは、1本の辺を余分に通ると、その辺の両はしの2つの頂点が同時に解決するという点です。
1本の辺には頂点が2つ付いているので、1回の「追加」で2個の頂点を一気に直せます。

つじつまの合わない頂点は8個あります。
1本の追加で2個ずつ直せるので、
8個 ÷ 2個 ＝ 4本
最低でも4本の辺を、もう1回ずつ余分に通す必要があります。

すべての辺の長さは12cmで同じなので、
選ぶ4本がきちんと8個の頂点をダブりなく分担できるかがポイントです。

立方体には、上の面と下の面をつなぐ「縦の辺」が4本あります。
この4本は、上の面の頂点1個・下の面の頂点1個をそれぞれ1組ずつ結んでいるので、
4本選ぶだけで8個の頂点をちょうど1回ずつ、もれなく・重なりなく直すことができます。

全部の辺を1回ずつ 12本 × 12cm ＝ 144cm

余分にもう一度通る4本 4本 × 12cm ＝ 48cm

144cm ＋ 48cm ＝ 192cm

「立体」「辺をすべて通る」「同じ辺を通ってもよい」「最短」——
この組み合わせを見た瞬間、「一筆書き・規則発見」の単元だと判断します。
面積や体積を求める問題ではなく、歩き方そのものにルールがある問題だと最初に見抜くことが大切です。

12本×12cm＝144cmと、ぱっと計算したくなりますが、
開成を受ける子は「本当にその通りに歩けるルートがあるか」を先に疑います。
長さの合計を出すことと、実際に歩き切れることは別問題だと気づけるかが最初の分かれ目です。

「歩けるかどうか」を確かめるために、頂点（かど）に何本の辺が集まっているかを数えます。
立方体ではどの頂点も3本——この「3本」という数字に注目できるかが重要です。

頂点を通るとき、入る辺と出る辺は必ずペアになります。
3本のように奇数本集まっていると、1本だけペアの相手がいなくなる——
この「ペアになる・ならない」という考え方を、図形の中に当てはめられるかがポイントです。

この問題は出発点に戻ってくるという条件付きです。
戻ってくる場合は、スタート地点も「出ていく辺」と「帰ってくる辺」がペアになるので、
例外なく、すべての頂点でペアが揃っている必要があると気づくことが大切です。

いきなり「どの辺をもう一度通るか」を当てずっぽうで探すのではなく、
「ペアの相手がいない頂点が何個あるか」→「最低何本の追加で直せるか」の順番で考えます。
この順番を守ると、計算がブレません。

立方体の頂点は8個、すべて辺が3本ずつ集まっているので、
つじつまの合わない頂点 ＝ 8個

1本の追加で頂点2個を同時に直せるので、
8個 ÷ 2個 ＝ 4本
この時点で、まだ「どの4本か」を決めていなくても、最低4本必要ということだけは確定します。

すべての辺の長さが同じ12cmなので、本数さえ4本に決まれば、追加の距離は必ず48cmになります。
あとは8個の頂点をダブりなく分担できる組み合わせ（縦の辺4本など）を1つ見つければ完成です。