問題5｜6人の円形配置と3つの条件
方針決定力・条件整理力・初見対応力を鍛える解説（前編）
問題
A、B、C、D、E、F の6人が円形に並びます。
ただし、以下の条件があります。
- AとBは隣り合う
- BとCは隣り合わない
- DとEは向かい合う
並び方は全部で何通りありますか。
通常解説
まず「円形に並ぶ」とはどういうことかを確認し、その後3つの条件を一つずつ処理します。途中式は省略しません。
6人を一列に並べると 6×5×4×3×2×1＝720通りです。
しかし円形では、全員が同じだけ右にずれた並び方は「同じ並び方」と考えます。
たとえば ABCDEF・BCDEFA・CDEFAB・… はすべて「同じ円の並び」です。
6人のとき「ずれのパターン」は6種類あるので、
円形の並び方は 720 ÷ 6 ＝ 120通り になります。
※「(6−1)!」は小学生向けに言い換えると「1人を固定して残り5人を並べる方法」です。
Aを固定してB〜Fの5人を並べると 5×4×3×2×1＝120 通りになります。
AとBを「ABのセット」として1つのかたまりに考えます。
すると6人ではなく「ABのかたまり＋C＋D＋E＋F」の5つのかたまりが円形に並ぶ問題になります。
ここで重要な工夫があります。条件②「BとCは隣り合わない」は「向かい合う」という情報と組み合わせて処理するのが困難です。
そこで先に条件①と③を同時に処理し、最後に条件②を使って引き算します。
条件①「AとBは隣り合う」＋ 条件③「DとEは向かい合う」を同時に満たす並び方を数えます。
まず、Aを固定します（円形なのでAの場所を決めても失われる場合はない）。
6人の円形でAを固定すると、DとEが向かい合う位置の組み合わせを考えます。
6席の円形テーブル。Aを1番の席に固定。
向かい合う席のペア：(2,5)(3,6)(4,A席=1) → 1は固定済なので (2,5)(3,6) の2組と (4,1)組。
ただし1番はAが固定されているので、D・Eが(1,4)に入る場合は「AとBが隣り合う」条件とは別に管理する。
Aを固定した6つの席を時計回りに①②③④⑤⑥とします。
Aは①に固定。向かい合う席のペアは (②,⑤)・(③,⑥)・(①,④) の3組です。
DとEが入れる向かい合いのペアは：
| DとEが入るペア | D・Eの並び方 | AとBが隣り合う残りの配置 | 備考 |
|---|---|---|---|
| ②と⑤ | 2通り（D②E⑤ or E②D⑤） | ①=A、残り席③④⑥にB,C,Fを並べる | Aの隣は②⑥。Bは②か⑥に入る必要あり |
| ③と⑥ | 2通り | ①=A、残り席②④⑤にB,C,Fを並べる | Aの隣は②⑥。Bは②か⑥に入る必要あり |
| ①と④ | ①はAが固定なので不可 | — | DまたはEは①に入れない |
この計算は少し複雑になるため、次のステップで「かたまり法」と「引き算（余事象）」の2段階で整理します。
ここではAとBをかたまりにして「【AB】C D E F」の5つを円形に並べる問題と考えます。
さらにその中でDとEが向かい合う配置だけを選びます。
【手順】
① まずABのかたまり（2通り）＋C・D・E・Fの5つのかたまりを円形に並べます。
5つのかたまりの円形順列は 24通り、ABの内側の並び方が 2通りなので合計 48通り。
② この48通りの中から「DとEが向かい合う」ものを選びます。
5つのかたまりが円形に並ぶとき、6つの席があります（ABは隣り合う2席を占める）。
6席の円形で「向かい合う」ペアは3組あります：(①,④)(②,⑤)(③,⑥)。
ABが隣り合う2席を使っているので、DとEが入れる向かい合いのペアを数えます。
6席の円形配置。ABが隣り合う2席を占める。
例：ABが①②を使う場合、向かい合うペアは(③,⑥)(④,⑤)が使える。(①,④)や(②,⑤)はABがいるので片方しか使えない。
整理：D・Eが2席ともABを含まないペアに入る場合を探す。
円形の6席でABが占める席をまず固定します。
ABは隣り合う2席を占めます。6席の円形でABが入る2席の選び方は6通りありますが、円形では1つを固定して数えるので、
ABのかたまりの位置を①②（固定）として考えます。
すると残り4席は③④⑤⑥です。
6席全体の向かい合いのペアは (①,④)(②,⑤)(③,⑥) の3組。
このうちDとEが完全にABの外側のペアに入れる組み合わせは：
| D・Eが入る向かい合いペア | AやBが含まれるか | 有効か |
|---|---|---|
| (①, ④) | ①にはAかB → 不可 | ❌ |
| (②, ⑤) | ②にはAかB → 不可 | ❌ |
| (③, ⑥) | ③も⑥もAB以外 → 有効 | ✅ |
DとEが入れる向かい合いのペアは (③,⑥) の1組だけです。
D・Eの入り方は D③E⑥ または E③D⑥ の 2通り。
※ここでは円形の固定として「ABかたまりを①②に固定」しました。
正確には「かたまりの向きも2通り（AB順とBA順）」を掛けているので、これで正しくカウントされています。
「BとCは隣り合わない」を直接数えるより、
「BとCが隣り合う場合」を引く（余事象）の方が簡単です。
条件①③を満たす8通りの並びの中で「BとCが隣り合う場合」を数えます。
ABは①②に固定。BはAの隣なので②（A=①のとき）または①（A=②のとき）にいます。
Cがその隣に来るとき、CはBの外側の席になります。
ケース分析：A=①B=②の場合、BとCが隣り合うにはC=③のみ（Bの外側）。
A=②B=①の場合、BとCが隣り合うにはC=⑥のみ（Bの外側）。
それぞれ残りの席のDECFの配置を数える。
8通りの配置を書き出すと、BとCが隣り合う配置を特定できます。
AB内の並び方2通り × DE向かい合い方2通り × CF配置2通り ＝ 8通り全部を確認します。
| ① | ② | ③ | ④ | ⑤ | ⑥ | BとCが隣り合うか |
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | B | D | C | E | F | Bの隣は①(A)と③(D) → ❌隣り合わない |
| A | B | D | F | E | C | Bの隣は①(A)と③(D) → ❌ |
| A | B | E | C | D | F | Bの隣は①(A)と③(E) → ❌ |
| A | B | E | F | D | C | Bの隣は①(A)と③(E) → ❌ |
| B | A | D | C | E | F | Bの隣は②(A)と⑥(F) → ❌ |
| B | A | D | F | E | C | Bの隣は②(A)と⑥(C) → ✅隣り合う！ |
| B | A | E | C | D | F | Bの隣は②(A)と⑥(F) → ❌ |
| B | A | E | F | D | C | Bの隣は②(A)と⑥(C) → ✅隣り合う！ |
BとCが隣り合う配置は 2通り ありました。
これを条件①③の8通りから引きます。
⚠️ ここで問題があります。ABを①②に固定するのは「円形の固定」として正しいですが、ABの位置が(①②)以外の場合も考える必要があります。計算の組み立て方を確認しましょう。
実は上の「ABを①②に固定」するやり方は、円形の固定として正しい手法です。
円形順列では「1つを固定」するので、「ABかたまりを①②に固定＋AB内の順番2通り」で正しくカウントされています。
ただし向かい合いのペアの数え方に注意が必要です。次の解説で整理します。
【整理】正しい解法の流れ
上の分析を整理して、正確な計算をします。
・AとBは隣り合う → 【AB】のかたまり（内側の順番は2通り：ABまたはBA）
・DとEは向かい合う → 【DE】を向かい合いペアとして確保（内側2通り：DEまたはED）
残りの人：C と F の2人。
これで確定した要素を整理します。
Aを①に固定（円形の基本）。
Bは①の隣、つまり②か⑥に入ります。
【場合A】Aが①、Bが②のとき
向かい合いのペアは(①,④)(②,⑤)(③,⑥)。
①=A、②=B なので、DEが使える向かい合いペアは (③,⑥) のみ。
→ DE配置2通り、残り④⑤にCFを並べる2通り
→ 2 × 2 = 4通り
【場合B】Aが①、Bが⑥のとき
①=A、⑥=B なので、DEが使える向かい合いペアは (②,⑤) または (③,⑥)…
⑥=Bなので (③,⑥) は使えない。(②,⑤) が使えるペア。
→ DE配置2通り、残り③④にCFを並べる2通り
→ 2 × 2 = 4通り
上の表での確認通り、8通りのうち「BとCが隣り合う」ものは 2通り。
【解法の流れまとめ】
① Aを固定（円形順列の基本）
② 条件①：BはAの隣（②か⑥の2ケース）
③ 条件③：D・Eが向かい合えるペアを特定（各ケースで1組ずつ）
④ C・Fを残りの席に配置（各ケースで2通り）
⑤ 条件②：BとCが隣り合う配置（2通り）を引く
→ 4 + 4 − 2 ＝ 6通り
初見での考え方
開成受験生が本番でどのように考えるか、思考の実況です。
「6人、円形、3つの条件」→ これは円形順列＋条件処理の問題だ。
まず3つの条件を種類別に分ける。
・「隣り合う」→ かたまり法が使える
・「隣り合わない」→ 全体から引き算（余事象）が有効
・「向かい合う」→ 位置関係の固定が必要
「隣り合わない」は余事象が鉄則。これは最後に引き算する。
「隣り合う」と「向かい合う」を先に処理して小さい数を作り、その後引き算する。
6人の円形では向かい合うペアは3組ある。
「ABが隣り合う」でABが2席を占めるとき、DEが向かい合えるペアは何組か？
→ ABが占める2席に含まれないペアを探す。
→ Bの位置によって変わるので、場合分けが必要！
円形の固定はAを固定する（最も条件が多い人物を固定）。
Aを固定するとBの位置が限定される（Aの隣2ヶ所）。
BがどちらにいるかでDEの向かい合いペアが変わるので、Bの位置で2ケースに場合分けする。
最終的に残る並び方は少ない（8通り）ので、全部書き出して確認できる。
書き出しの際は「①②③④⑤⑥」と番号を振った円を書き、席を一つずつ埋めるのが確実。
計算と書き出しを組み合わせるのが開成受験生の実戦的なアプローチ。
✅ 初見での思考フローまとめ
「隣り合う」→かたまり法、「隣り合わない」→余事象（最後に引く）と仕分け
Aを固定し、Bの位置で2ケースに場合分け
各ケースでDEが向かい合えるペアを確認→配置を数える
8通りを書き出し、BとCが隣り合う2通りを除外→答え6通り
─── 前編（問題・通常解説・初見での考え方）終わり ─── 後編に続きます ───
問題5｜なぜその方針か・典型ミス・別解・差がつくポイント
方針決定力・思考の言語化・本質の理解
なぜその方針を選ぶのか
「BとCが隣り合わない並び方」を直接数えようとすると、Cを置く場所を制限しながら残りを配置するという複雑な作業が必要になります。
しかも「向かい合う」「隣り合う」という別の条件も同時に絡むため、直接数えると抜け・重複が起きやすい。
✅ 余事象を使う → 「BとCが隣り合う場合だけ除く」シンプルな引き算になる
鉄則：「〜ない」という条件は、「ある」場合を引く。
この問題は最終的に残る数が8通りと少ないので、書き出しで確認できる。それも余事象が有効な証拠。
AとBを別々の人として扱ったまま「ABが隣り合う条件」を処理しようとすると、Bの位置を決めてからAを隣に置くという手順が必要で、ダブルカウントが起きやすい。
かたまり法なら「ABを1つのかたまり」として扱い、「内側の順番2通り（AB・BA）」を別に掛けるだけ。
✅ かたまり法 → 人数が1人減って考えやすく、内側の順番は独立して掛けるだけ
「向かい合う」という条件は円の席の構造に依存します。
6席の円では向かい合うペアは3組。ABが2席を占めると、DEが使えるペアが制限される。
これを感覚でやると使えるペアの数を誤カウントする。
✅ 席に番号を振った円を書く → 向かい合いのペアが視覚的に明確になり、使えるペアを正確に特定できる
なぜ図を書くのか？
「向かい合い」は位置関係なので、図がないと構造を正確に把握できない。
図を書くことで「①と④が向かい合い、②と⑤が向かい合い、③と⑥が向かい合う」が一目でわかる。
円形順列では必ず「誰か1人を固定」して回転の重複を避ける。
固定するのは最も条件が多い人物にする。
Aは「Bと隣り合う」という条件に登場しているので、Aを固定するとBの位置が自然に「Aの隣の2ヶ所」に絞られる。
これにより次の場合分けがすっきりする。
✅ Aを固定する → Bの位置が2択になり、場合分けが最小限になる
典型ミス
「まず全員を一列に並べてから条件を適用しよう」という考えで 720 通りから引き算しようとする。
しかし円形では最初から (6−1)! ＝ 120 通りが基準。
円形問題では「誰かを固定する」ことが習慣になっていないと必ず間違える。
6席の円で向かい合いのペアが何組あるかを誤る。「6÷2＝3組」という計算は合っているが、
ABが2席占めたとき「DEが使えるペアは何組か」を感覚で判断してしまい、1組を2組と誤る。
図を書かないと「DEが2ペアに入れる」と誤判断しやすい。
条件②を最初から考慮してBとCの間に他の人を配置しようとする。
「隣り合わない」を直接数えようとするため計算が複雑になり、最終的に誤答になる。
実は「隣り合わない」は一番最後に余事象で処理するのが鉄則。この「処理の順番」を知らないと迷走する。
ABをかたまりにしたとき、かたまり内の並び方（ABまたはBA）の2通りを考慮せずに計算する。
同様にDEの向かい合い方（DEまたはED）の2通りも掛け忘れる受験生が多い。
かたまり法では「外側の配置」×「内側の順番」を必ずセットで考えることが大切。
Aを①に固定してBが②にいる場合だけ計算し、Bが⑥にいる場合（もう一方の隣）を忘れる。
4通りの答えを出して終わってしまう。
Aの隣はAの両側（②と⑥）なので、Bはどちらにも入る可能性がある。
別解
条件①③を先に処理すると、残る候補は 8通り だけです。
この8通りを全部書き出して、条件②（BとCが隣り合わない）を満たすものを選ぶ方法です。
Aを①に固定。Bが②のケース4通り＋Bが⑥のケース4通りを書き出す。
（書き出し表は前編の通常解説を参照）
なぜこれが速いか？
8通りは1〜2分で書き出せる量。書き出すことで「BとCが隣り合うかどうか」の確認ミスもなくなる。
計算で出した答えを書き出しで検算できるので二重チェックになる。
DEを「向かい合いペア」として扱う代わりに、DEを1つのグループとして位置を決める方法です。
Aを①に固定。
① ABが隣り合う：Bの位置は②か⑥の2通り
② 各ケースでDEが向かい合えるペアは1組
③ DE内の順番2通り、残り2人（CF）の配置2通り
→ 2（Bの位置）× 1（DEのペア）× 2（DE内）× 2（CF配置）＝ 8通り
④ BとCが隣り合う2通りを引く → 6通り
この考え方が一番論理的で、上の「通常解説」の整理版です。
DEが向かい合うことを使って、DEを固定してしまいます。
6席の円形でDを①、Eを④（向かい合い）に固定します（円形の固定として）。
すると残り席は②③⑤⑥にA・B・C・Fが入ります。
条件①「AとBが隣り合う」→ ABがどこかの隣り合う2席に入る。
残り4席（②③⑤⑥）の隣り合いのペアは (②,③)(⑤,⑥) の2組。
（①=D、④=Eなので、②と⑥は隣り合うが④=Eをはさんだ「向かい合い」とは別）
ABが入るペア：(②,③) か (⑤,⑥) の2組。
各ペアでABの内側の順番2通り、残り2席にCとFを配置する2通り。
✅ この別解③が最もすっきりしていてミスが少ない。本番ではこの方針がおすすめ！
本番でのおすすめ解法
①Dを固定してEを向かい合いに置く→ 残り4席でABが隣り合う位置を数える → 8通りを書き出す → BとCが隣り合う2通りを除く。
この流れが「固定→場合数が少ない→書き出しで確認」という最もミスの少ない方針です。
開成で差がつくポイント
「3条件を処理する順番の判断力」。
すべての条件を同時に考えるのではなく、処理しやすい順番に並べ替える力が問われている。これは算数の「方針決定力」そのもの。
「向かい合いのペアが条件によって制限される」という構造の見抜き方。
ABが2席を占めると使えるペアが減ること、Bの位置で場合分けが必要なこと、この2点を素早く理解できるかどうか。
残る並び方が8通りという「少ない数」に持ち込んでから書き出す。
計算で絞り込み→書き出しで確認という組み合わせができる受験生は強い。
問題の条件を「種類別に仕分け」してから処理順を決める。
「隣り合う→かたまり」「向かい合う→固定」「隣り合わない→余事象」という3パターンの引き出しを即座に使える。
問題を見た瞬間に3条件を仕分け。
「②は余事象→最後」と即決。
Dを固定してスタート。
8通りを整然と書き出し、
2通りを除いて6通りと答える。
3条件をすべて同時に考えようとして混乱。
または「隣り合わない」を先に処理しようとして複雑化。
向かい合いのペアの数を誤り、
12通りや48通りなど大きな数を答える。
この問題から学ぶべきこと
この問題は「円形順列」という単元の問題ですが、本質は「複数の条件を整理する力」です。
計算力よりも、条件を「隣り合う」「向かい合う」「隣り合わない」に仕分けし、処理順を決める思考力が問われています。
開成が見ているのは「条件を整理して小さな問題に変換する力」です。
① 「〜ない」が出たら余事象（引き算）という考え方は、場合の数のすべての問題に使える。
② 「円形＋隣り合う」はかたまり法、「円形＋向かい合う」は固定から始めるという2パターンはセットで覚える。
③ 残る場合の数が20通り以下なら書き出せるという判断力も重要。計算より書き出しの方が速くてミスが少ない場合がある。
問題を見たらまず条件を仕分ける習慣をつける。
・「〜と隣り合う」→ かたまり法の候補
・「〜と向かい合う」→ 固定の候補
・「〜と隣り合わない」→ 余事象（最後に使う）
・「〜と同じ側にいる」「〜より〜の方に近い」→ 場所のグループ化
この仕分けを問題文を読みながら余白に書き出すだけで、方針が決まりやすくなる。
方針が決まれば、あとは丁寧に実行するだけ。それが開成合格の道。
🏅 開成算数で合格するための3か条
1️⃣ 条件を「仕分け」してから処理順を決める
2️⃣ 「計算で絞り込み→書き出しで確認」のハイブリッドで解く
3️⃣ 「〜ない」は絶対に余事象。直接数えようとしない
─── 後編（なぜその方針か・典型ミス・別解・差がつくポイント・まとめ）終わり ───
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