直方体の切断｜中点を通る平面
開成・灘・筑駒レベル対策｜算数専門講師による思考力解説
📝 問題
縦8cm、横12cm、高さ20cmの直方体があります。
ある頂点Aから出る3本の辺の真ん中をそれぞれM、N、Pとします。
3点M、N、Pを通る平面で直方体を切断します。
（1）切り口の形を答えなさい。
（2）Aを含む小さい立体の体積を求めなさい。
（3）切り口の面積を求めなさい。
【図をここに挿入】
縦8・横12・高さ20の直方体。頂点Aから出る3辺の中点M・N・P
縦8・横12・高さ20の直方体。頂点Aから出る3辺の中点M・N・P
🔍 問題を解く前の整理
まず「設定」を図に落とし込む
頂点Aから出る辺は3本。その3本の辺の長さはそれぞれ縦8cm・横12cm・高さ20cm。
Mは縦辺の中点 → Aから4cm
Nは横辺の中点 → Aから6cm
Pは高さ辺の中点 → Aから10cm
Mは縦辺の中点 → Aから4cm
Nは横辺の中点 → Aから6cm
Pは高さ辺の中点 → Aから10cm
| 中点 | どの辺の中点か | 辺の全長 | Aからの距離 |
|---|---|---|---|
| M | 縦の辺 | 8 cm | 4 cm |
| N | 横の辺 | 12 cm | 6 cm |
| P | 高さの辺 | 20 cm | 10 cm |
📖 通常解説
（1）切り口の形
3点M、N、Pはそれぞれ異なる辺の上にある。
この3点を結ぶと、3本の線分MN・NP・PMができる。
3点を結んでできる図形は必ず三角形。
この3点を結ぶと、3本の線分MN・NP・PMができる。
3点を結んでできる図形は必ず三角形。
「各辺が何cmか」を計算する。MとNは同じ面（底面）の上の点か？→ いいえ。
Mは縦辺の上、Nは横辺の上にある。
MN・NP・PMは直方体の面を斜めに走る「空間の対角線」になる。
三辺の長さがすべて違う → 不等辺三角形（三角形）。
Mは縦辺の上、Nは横辺の上にある。
MN・NP・PMは直方体の面を斜めに走る「空間の対角線」になる。
三辺の長さがすべて違う → 不等辺三角形（三角形）。
答え（1）：三角形
（2）Aを含む小さい立体の体積
切り口（三角形MNP）でできたAを含む小さい立体の形を考える。
頂点はA、M、N、Pの4つだけ。
面は4枚（底面＝三角形MNP、残り3面＝三角形AMN・ANP・APM）。
→ これは三角すい（四面体）。
頂点はA、M、N、Pの4つだけ。
面は4枚（底面＝三角形MNP、残り3面＝三角形AMN・ANP・APM）。
→ これは三角すい（四面体）。
三角すいの体積を直方体から考える。
Aを頂点とし、AM・AN・APの3辺がたがいに垂直な「直角三角すい」になっている。
（なぜなら、縦・横・高さはそれぞれ直角に交わっているから）
Aを頂点とし、AM・AN・APの3辺がたがいに垂直な「直角三角すい」になっている。
（なぜなら、縦・横・高さはそれぞれ直角に交わっているから）
直角三角すいの体積の公式
3辺がたがいに直角に交わる三角すいの体積は：
体積 ＝ （辺①）×（辺②）×（辺③）÷ 6
※ なぜ÷6か：直方体を半分にすると三角柱（÷2）、さらに3分の1にすると三角すい（÷3）。合わせて÷6。
3辺がたがいに直角に交わる三角すいの体積は：
体積 ＝ （辺①）×（辺②）×（辺③）÷ 6
※ なぜ÷6か：直方体を半分にすると三角柱（÷2）、さらに3分の1にすると三角すい（÷3）。合わせて÷6。
AM = 4cm、AN = 6cm、AP = 10cm を代入：
4 × 6 × 10 ÷ 6
＝ 240 ÷ 6
＝ 40 cm³
4 × 6 × 10 ÷ 6
＝ 240 ÷ 6
＝ 40 cm³
答え（2）：40 cm³
（3）切り口の面積
切り口は三角形MNPで、空間の中に斜めに存在する三角形。
普通の「底辺×高さ÷2」では簡単に求められない（高さが斜めになるため）。
→ 「3つの直角な面の面積」を使う特別な方法を使う。
普通の「底辺×高さ÷2」では簡単に求められない（高さが斜めになるため）。
→ 「3つの直角な面の面積」を使う特別な方法を使う。
空間三角形の面積を求める方法
A・M・N・Pのように「たがいに垂直な3辺から出発する三角形」は、
次の式で面積が求まる：
（面積）² ＝ （正面の三角形の面積）² ＋ （横の三角形の面積）² ＋ （上の三角形の面積）²
ここで「正面・横・上の三角形」とは、M・N・PをAM・AN・APの方向に「影」として落としたときの三角形のこと。
Aを直角の頂点とする直角三角形3つを使う。
A・M・N・Pのように「たがいに垂直な3辺から出発する三角形」は、
次の式で面積が求まる：
（面積）² ＝ （正面の三角形の面積）² ＋ （横の三角形の面積）² ＋ （上の三角形の面積）²
ここで「正面・横・上の三角形」とは、M・N・PをAM・AN・APの方向に「影」として落としたときの三角形のこと。
Aを直角の頂点とする直角三角形3つを使う。
3つの直角三角形の面積を求める：
・底面の三角形（縦AM=4と横AN=6） → 4×6÷2 ＝ 12 cm²
・正面の三角形（横AN=6と高さAP=10）→ 6×10÷2 ＝ 30 cm²
・側面の三角形（縦AM=4と高さAP=10）→ 4×10÷2 ＝ 20 cm²
・底面の三角形（縦AM=4と横AN=6） → 4×6÷2 ＝ 12 cm²
・正面の三角形（横AN=6と高さAP=10）→ 6×10÷2 ＝ 30 cm²
・側面の三角形（縦AM=4と高さAP=10）→ 4×10÷2 ＝ 20 cm²
それぞれを2乗して合計し、√（平方根）をとる：
12² ＋ 30² ＋ 20²
＝ 144 ＋ 900 ＋ 400
＝ 1444
√1444 ＝ 38
（38² ＝ 1444 を確認：38×38 ＝ 1444 ✓）
面積 ＝ 38 cm²
12² ＋ 30² ＋ 20²
＝ 144 ＋ 900 ＋ 400
＝ 1444
√1444 ＝ 38
（38² ＝ 1444 を確認：38×38 ＝ 1444 ✓）
面積 ＝ 38 cm²
答え（3）：38 cm²
🧠 初見での考え方｜実況解説
問題を見た瞬間にやること
▶ 開成受験生の思考実況
「直方体の切断か。切断問題はまず図を描く。でも、M・N・Pが中点と書いてある。中点が3つ出てきたら…これは三角すいの問題じゃないかな。体積を求める設問がある。中点から出来る立体の体積は、直方体の体積と関係があるはず。まずAからM・N・Pへの距離を整理しよう。」
「頂点から出る3本の辺の中点」という言葉に反応する
→ これは「Aを頂点とする直角三角すい」が生まれる設定。
直方体の3辺は互いに直角なので、直角三角すいが確定。
→ これは「Aを頂点とする直角三角すい」が生まれる設定。
直方体の3辺は互いに直角なので、直角三角すいが確定。
数字を整理する
縦8→中点4cm、横12→中点6cm、高さ20→中点10cm。
「4・6・10」という3つの数字がこの問題のキーナンバー。
縦8→中点4cm、横12→中点6cm、高さ20→中点10cm。
「4・6・10」という3つの数字がこの問題のキーナンバー。
（2）体積を先に見る
体積を求める問題がある → 直角三角すいの公式「÷6」が使えそう。
公式を使う前提で、（1）の切り口が「三角形」であることを確認する。
体積を求める問題がある → 直角三角すいの公式「÷6」が使えそう。
公式を使う前提で、（1）の切り口が「三角形」であることを確認する。
（3）面積は「影の面積」の公式を想定する
空間三角形の面積はそのまま計算しにくい。
→ 「3面の直角三角形の面積の2乗を合計して√（平方根）をとる」方法を想定する。
√の計算がきれいになるかを最後に確認。
空間三角形の面積はそのまま計算しにくい。
→ 「3面の直角三角形の面積の2乗を合計して√（平方根）をとる」方法を想定する。
√の計算がきれいになるかを最後に確認。
どの条件が重要か
重要な条件は「Aから出る3辺がたがいに垂直」という点。
これがあるから「直角三角すい」になり、体積の公式が使える。
また、「各辺の中点」という設定があるから数値が半分になり、計算がシンプルになる。
これがあるから「直角三角すい」になり、体積の公式が使える。
また、「各辺の中点」という設定があるから数値が半分になり、計算がシンプルになる。
💡 なぜその方針を選ぶのか
（2）なぜ「÷6」の公式を使うのか
別の方法で苦しい理由：
三角すいの体積は「底面積×高さ÷3」でも求められる。しかし、三角形MNPを底面とすると、 その「高さ」（Aからの垂線の長さ）を求めるのが非常に難しい。空間の中での距離計算は 小学生には複雑すぎる。
÷6を使う理由：
Aから出る3辺がたがいに直角なので、「小さな直方体（4×6×10）」を作ることができる。 この小直方体を6個に分けると、その1つが求めたい三角すいになる。 だから4×6×10÷6という式になる。
三角すいの体積は「底面積×高さ÷3」でも求められる。しかし、三角形MNPを底面とすると、 その「高さ」（Aからの垂線の長さ）を求めるのが非常に難しい。空間の中での距離計算は 小学生には複雑すぎる。
÷6を使う理由：
Aから出る3辺がたがいに直角なので、「小さな直方体（4×6×10）」を作ることができる。 この小直方体を6個に分けると、その1つが求めたい三角すいになる。 だから4×6×10÷6という式になる。
【図をここに挿入】
4×6×10の小直方体を6等分すると三角すいが1個できる様子
4×6×10の小直方体を6等分すると三角すいが1個できる様子
（3）なぜ「影の面積」の方法を使うのか
普通の「底辺×高さ÷2」が使いにくい理由：
三角形MNPの3辺（MN・NP・PM）は空間の中を斜めに走っている。 底辺をMNとしたとき、Pからの高さ（垂線の長さ）を求めるには 空間内の複雑な計算が必要。小学生には難しすぎる。
「影の面積」を使う理由：
たがいに直角な3方向から三角形を「写真に撮る」と、それぞれ「底面・正面・側面」に 直角三角形が映る。この3枚の面積を使って元の面積が求まる。 計算が整数でできるので、ミスが減る。
三角形MNPの3辺（MN・NP・PM）は空間の中を斜めに走っている。 底辺をMNとしたとき、Pからの高さ（垂線の長さ）を求めるには 空間内の複雑な計算が必要。小学生には難しすぎる。
「影の面積」を使う理由：
たがいに直角な3方向から三角形を「写真に撮る」と、それぞれ「底面・正面・側面」に 直角三角形が映る。この3枚の面積を使って元の面積が求まる。 計算が整数でできるので、ミスが減る。
なぜ図を描くのか
「切り口の形」は直感で決めずに必ず図で確認する。
直方体の切断問題では「平面がどこを通るか」を誤解するミスが多い。
図を描くことで「M・N・Pは3つの異なる辺の上」を視覚的に確認できる。
直方体の切断問題では「平面がどこを通るか」を誤解するミスが多い。
図を描くことで「M・N・Pは3つの異なる辺の上」を視覚的に確認できる。
⚠️ 典型ミス
ミス①
切り口の形を「六角形」と答える
切り口が六角形になるのは「3点が辺の中点ではなく辺の内部にある場合」など、
異なる条件のとき。今回は頂点Aから出る3辺の中点だけを通る平面なので、
切り口は三角形（三角形MNP）のみ。
なぜ起こるか：直方体の切断問題は「六角形になる」印象が強いため、
条件をよく読まずに六角形と決めつけてしまう。問題ごとに「どの点を通るか」を
毎回確認する習慣が必要。
ミス②
体積を「直方体の体積÷6」で計算する（数値を間違える）
直方体全体は 8×12×20 = 1920 cm³。これを÷6すると 320 cm³。正しくは、半分の辺（4・6・10）を使った小直方体 4×6×10＝240 を÷6で 40 cm³。
なぜ起こるか：「直方体÷6」という式を覚えてしまい、
「どの直方体か」を考えなくなる。公式を使うときは「なぜこの数値を使うか」を
毎回確認することが大切。AM・AN・APの距離（4・6・10）がキーナンバー。
ミス③
面積を求めるとき「3辺の長さ」を計算しようとする
MN・NP・MPの長さを計算し始める受験生が多い。計算すると√（平方根）が出てきて
ヘロンの公式のような複雑な処理が必要になる。小学校の範囲を大きく超えてしまう。
なぜ起こるか：「三角形の面積＝底辺×高さ÷2」を使おうとして、
まず辺の長さを求めようとする。しかしこの問題では「影の面積」を使う方が
はるかに効率的。問題の特徴を見て「どの方法が楽か」を考える力が必要。
ミス④
√1444 が計算できない
√1444 ＝ 38 を確認するには「38² ＝ ?」を計算する必要がある。38² ＝ (40−2)² ＝ 1600 − 160 + 4 ＝ 1444 で確認できる。
または 38×38 を筆算で丁寧に計算する。
なぜ起こるか：平方根の計算に慣れていないと、
1444 が何かの2乗かどうか判断できない。
「大きな数の平方根」への対策として、
30²=900・35²=1225・40²=1600 を覚えておくと見当がつきやすい。
ミス⑤
「影の面積の公式」で辺の長さではなく面積を2乗するのを忘れる
正しくは：（面積）² ＝ 12² ＋ 30² ＋ 20²誤った式：面積 ＝ 12 ＋ 30 ＋ 20 （そのまま足してしまう）
なぜ起こるか：公式の「2乗して合計、最後に√をとる」という
手順の途中で2乗を忘れてしまう。
計算の手順をメモに書きながら進める習慣をつけると防ぎやすい。
🔄 別解
別解①：三角すいを「大きな三角すい」から引く方法（体積）
考え方
直方体をAを通る対角面で切ると大きな三角柱ができる。 その三角柱からはみ出た三角すい3つを引く方法もある。 しかし、計算手順が増えるため÷6の公式の方が速い。 本番では÷6公式を迷わず使う。別解②：「底面×高さ÷3」で体積を確認する
底面を三角形MNPとする方法
三角すいAMNPの体積は「底面積×高さ÷3」でも求められる。底面＝三角形MNP（面積38cm²）、高さ＝AからMNPへの垂線。
垂線の長さ h とすると：38 × h ÷ 3 ＝ 40
→ h ＝ 40×3÷38 ＝ 120/38 ＝ 60/19 cm
この計算は逆算なので、体積（40cm³）と面積（38cm²）が求まった後に確認として使える。 本番では先に÷6で体積を求め、最後に確認する使い方が有効。
本番でおすすめの解法まとめ
（1）図を描いて三角形と確認。迷わない。
（2）÷6の公式（AM×AN×AP÷6）が最速・最もミスが少ない。
（3）「影の面積の2乗合計→√」の方法が唯一現実的な小学生向け解法。
12²＋30²＋20²＝1444、√1444＝38 の計算を丁寧に。
（2）÷6の公式（AM×AN×AP÷6）が最速・最もミスが少ない。
（3）「影の面積の2乗合計→√」の方法が唯一現実的な小学生向け解法。
12²＋30²＋20²＝1444、√1444＝38 の計算を丁寧に。
🏆 開成で差がつくポイント
この問題で本当に見られている力
① 立体の「見える化」力
直方体に切り口ができたとき、頭の中で立体を正確にイメージできるか。 「Aから出る3辺の中点」という文字情報を3次元の図に変換する力が試される。② 公式の「なぜ」を理解しているか
÷6や影の面積公式を「公式として暗記」しているだけでは応用できない。 「なぜ÷6になるか」（小直方体を6等分）を理解しているかが差につながる。③ 計算の見通し力
√1444＝38 を「計算できるか」でなく「計算できると気づけるか」が重要。 38²≒1444 という見当をつけてから計算に入る受験生は時間をロスしない。合格者と不合格者の違い
✅ 合格者の整理
・問題を見た瞬間に「三角すいだ」と気づく・4・6・10というキーナンバーをすぐ出せる
・（1）→（2）→（3）の順で解法が頭に並ぶ
・÷6と影の面積を迷わず選べる
・√の計算で見当をつけてから計算する
❌ 不合格者のつまずき
・切り口を六角形と思い込む・辺の長さ（MN・NPなど）を計算しようとする
・÷6を使うが「元の直方体」で計算する
・（3）で手が止まって諦める
・√1444 が求められない
開成特有の思考ポイント
「空間を平面に投影して考える」思考
影の面積の方法は、空間の問題を「3方向からの平面問題」に分解する考え方。 開成では「複雑な空間を整理された平面に落とし込む力」が繰り返し出題される。 この考え方を身につけると、他の空間図形問題にも応用できる。
影の面積の方法は、空間の問題を「3方向からの平面問題」に分解する考え方。 開成では「複雑な空間を整理された平面に落とし込む力」が繰り返し出題される。 この考え方を身につけると、他の空間図形問題にも応用できる。
📚 この問題から学ぶこと
この問題の本質
この問題は「直方体の切断」という形をしているが、本質は 「互いに直角な3辺をもつ三角すいの性質を理解しているか」。 Aから出る3辺が直角であることに気づいた瞬間に、 体積（÷6）・面積（影の公式）の両方が見えてくる。
他の問題への応用
- 直方体の頂点から出る辺の「比例分割」問題（中点でなく1:2に分ける場合）にも同じ考え方が使える
- 「空間三角形の面積」を求める問題では「影の面積の公式」が基本ツールになる
- 「三角すいの体積を直方体から導く」思考は、複合立体の体積問題にも応用できる
今後どう活かすか
- 直角三角すいが出てきたらまず÷6の公式を疑う
- 空間三角形の面積は3面の直角三角形の面積の2乗を合計して√をとる
- どちらの公式も「なぜその式になるか」を言葉で説明できるまで理解を深める
- √の計算は、30²=900・35²=1225・38²=1444・40²=1600 の目安を覚えておく
📋 答えまとめ
（1）切り口の形：三角形
（2）Aを含む立体の体積：40 cm³
（3）切り口の面積：38 cm²
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