大学受験の物理で単振動が苦手な原因は？力と変位の関係を図で整理する方法

単振動は、ばね、振り子、円運動との対応など、複数の見方が登場する単元です。公式を一つずつ暗記すると、変位の向きや加速度の符号が変わっただけで混乱しやすくなります。

中心にあるのは「つり合いの位置から離れると、元へ戻す向きの力がはたらく」という関係です。復元力が変位に比例し、向きが反対になる運動を一つの図で捉えると、速度・加速度・エネルギーの変化もつながります。

この記事では、大学受験物理で単振動が苦手になる原因と、力・変位・速度・加速度を整理する手順を解説します。

単振動で混乱しやすい四つの原因

自然長とつり合いの位置を混同している

鉛直ばねでは、ばねが自然長になる位置と、物体が静止するつり合いの位置は一致しません。つり合いの位置では、ばねの弾性力と重力が打ち消し合っています。

単振動の変位は、原則としてつり合いの位置を原点に測ります。ここを自然長から測ると、重力項が残り、式の意味が見えにくくなります。

変位の正方向を決めずに式を立てている

単振動では、復元力の向きが変位と反対になります。正方向を決めずに大きさだけで考えると、符号を誤ります。

変位をx、比例定数をkとすれば、復元力はF＝－kxです。負号は「原点へ戻す向き」を表します。

端点と中心で最大になる量を取り違えている

振幅の端では速度が0になり、加速度の大きさが最大になります。つり合いの位置では速度の大きさが最大になり、加速度は0です。

位置、速度、加速度を別々に暗記せず、復元力とエネルギーから確認できるようにしましょう。

周期の公式を条件と結び付けていない

ばね振り子の周期はT＝2π√（m／k）です。質量mが大きいほど周期は長く、ばね定数kが大きいほど短くなります。

鉛直ばねでも、つり合いの位置を原点にすれば周期は同じです。重力はつり合い位置をずらしますが、周期そのものには現れません。

単振動を整理する基本手順

手順1　つり合いの位置を求める

物体を静かに置いたとき、合力が0になる位置を求めます。鉛直ばねなら、自然長からの伸びをdとしてkd＝mgです。

手順2　つり合いの位置を原点にする

つり合いの位置からの変位をxと置き、正方向を図に矢印で示します。物体がどちら側にあるかではなく、原点からどちらへずれたかを表します。

手順3　合力を変位xで表す

鉛直ばねで下向きを正にすると、つり合い位置からxだけ下がった場所では、ばねの伸びはd＋xです。合力はmg－k（d＋x）となります。

つり合いの条件kd＝mgを使うと、合力はF＝－kxになります。重力項が消え、変位に比例する復元力だけが残ります。

手順4　運動方程式から角振動数を読む

運動方程式はma＝－kxです。a＝－（k／m）xとなるため、角振動数はω＝√（k／m）、周期はT＝2π／ωです。

手順5　端点と中心の量を表にする

• 端点：変位の大きさ最大、速度0、加速度の大きさ最大
• 中心：変位0、速度の大きさ最大、加速度0

この二地点を基準にすると、途中の位置で各量がどう変化するかを判断しやすくなります。

水平ばね振り子で具体的に確認する

質量mの物体をばね定数kのばねにつなぎ、摩擦のない水平面上で振動させます。つり合いの位置から右向きを正に変位xを測ります。

物体が右側にあるときxは正で、ばねは左へ物体を戻そうとします。したがって力は負向きです。左側にあるときxは負で、復元力は正向きになります。どちらの場合もF＝－kxで表せます。

振幅をAとすると、力学的エネルギーはE＝（1／2）kA²です。変位xでの弾性エネルギーは（1／2）kx²なので、運動エネルギーは次のようになります。

K＝（1／2）k（A²－x²）

端点x＝±AではK＝0、中心x＝0ではKが最大です。速度の大小を式の暗記ではなく、エネルギーの移り変わりから確認できます。

グラフ問題を解くときの見方

加速度と変位のグラフ

a＝－ω²xなので、a-xグラフは原点を通る右下がりの直線です。傾きは－ω²であり、傾きの絶対値から周期を求められます。

速度と変位の関係

エネルギー保存から、v²＝ω²（A²－x²）です。v-xグラフは直線ではありません。速度の向きまで含めると、位相によって正負二つの値を取ります。

時間変化のグラフ

x＝A cosωtと置く場合、速度はv＝－Aω sinωt、加速度はa＝－Aω²cosωtです。式を丸暗記するより、変位が最大の瞬間に速度0、加速度が反対向き最大になることを図と照合しましょう。

家庭学習で定着させる方法

毎回、原点と正方向を図に書く

問題文の図に、つり合い位置、自然長の位置、正方向を追記します。この三つを省略しないだけで、鉛直ばねの符号ミスを大きく減らせます。

公式の前にF＝－kxを作る

周期公式をすぐ使うのではなく、合力が変位に比例し、向きが反対であることを確認します。単振動と判断できた後でωやTを使います。

端点・中心・途中の三地点を比べる

一つの問題について、変位、速度、加速度、力、運動エネルギー、位置エネルギーを三地点で表にします。量同士の関係が一度に整理できます。

単振動を得点源にするために

単振動の土台は、つり合いの位置を原点に取り、復元力をF＝－kxと表すことです。ここから運動方程式、周期、速度、加速度、エネルギーを順に導けます。

自然長とつり合い位置を分ける、正方向を決める、端点と中心を比較する。この順番を守れば、公式が増えても一つの運動として理解できます。

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