定積分の計算が合っているのに面積の答えが違う場合は、グラフとx軸の位置関係を確認しましょう。定積分は符号を含む量で、面積は負になりません。この記事では、多項式の計算を例に、交点、区間分け、上下関係、計算の順に整理します。

原始関数の計算と面積の立式を分ける

積分の苦手には、原始関数を求められない場合と、求めたい量を定積分で表せない場合があります。例えばxの原始関数はx²/2ですが、それだけでは面積を正しく求められるとは限りません。まず何を求める問題かを確認し、「定積分の値」「x軸との面積」「二曲線で囲まれた面積」を区別してください。

計算練習と図からの立式練習は別々にも行いましょう。

x軸より下の部分は符号が逆になる

a＜bの区間でf(x)が0以上なら、定積分∫[a→b]f(x)dxは面積と一致します。f(x)が0以下なら、面積はその定積分の符号を逆にした値です。途中で符号が変わるなら、零点などを境に区間を分けます。

先に全区間を積分してから絶対値を付けても、正負が打ち消し合うため、一般には面積になりません。ここでは連続な関数を扱います。

例題：定積分が0でも面積は0ではない

y＝xとx軸の間で、－1≦x≦1の部分を考えます。定積分は［x²/2］の－1から1なので、1/2－1/2＝0です。一方、面積は－1から0の三角形と0から1の三角形の合計で1です。

積分で書くなら、－∫[－1→0]x dx＋∫[0→1]x dx＝1/2＋1/2＝1。図で左右の三角形を塗り、符号付きの値と面積を並べて比べましょう。

二曲線では上の関数から下の関数を引く

y＝xとy＝x²の交点はx＝0、1です。0≦x≦1ではx≧x²なので、囲まれた面積は∫[0→1](x－x²)dx＝［x²/2－x³/3］[0→1]＝1/6です。上下関係に迷ったら、区間内のx＝1/2を代入すると1/2＞1/4と確かめられます。

交点が複数あり上下が入れ替わる場合は、それぞれの区間で上から下を引きます。接しているだけで上下が変わらない場合もあるため、交点ごとに符号を確認します。

積分区間と符号を先に検算する

面積の式を立てたら、積分する関数が各区間で0以上かを見ます。負になる区間があれば、上下か区間分けを再確認してください。次に、原始関数を微分して元の関数に戻るかを確かめます。

最後に上端の値から下端の値を引きます。面積が負になったり、幅と高さから見積もれる範囲を大きく外れたりしたら、計算を追う前に図に戻りましょう。

復習では式を立てた理由を残す

解き直しノートには、交点を求めた式、簡単なグラフ、各区間の上下関係、積分式を残します。細かい計算だけを写すより、「0から1では直線が上」と書くほうが、同型問題を見分ける手掛かりになります。最初は一次関数と二次関数から始め、交点が増える問題へ進みます。

公式の適用条件を確認し、図による立式と原始関数の計算を結び付けてください。

確認問題

y＝x²－1とx軸で囲まれた部分の面積は？

答えと考え方を見る

交点はx＝－1、1。その間ではx²－1≦0なので、面積は∫[－1→1](1－x²)dx＝［x－x³/3］[－1→1]＝4/3です。

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