大問3　3本の道を使う往復運動

地点Aと地点Bを結ぶ3本の道を、のぞみさん・ひかりさん・こだまさんが決められた順に進みます。出会った時刻と場所を手がかりに、Bへの到着回数、道の長さの比、速さの比、最初に出会う場所を求める問題です。

最初に整理すること

道を通る順は、3人とも「ア→イ→ウ→ア→イ→ウ→…」です。ただし、AからBへ進む回と、BからAへ戻る回が交互に現れます。したがって、Bに着くときに通っている道は次のように並びます。

1回目はア、2回目はウ、3回目はイ、4回目はア、5回目はウ、…

この順を先に書いておくと、到着回数と進んだ道の本数を取り違えません。

（1）グラフ

のぞみさんの2回目のB到着は、ア・イ・ウの3本を1回ずつ通り終えたところです。8回目のB到着は、15本の道を通り終えたところです。解答用紙ののぞみさんの線上では、それぞれ該当する折り返しの位置に印を付けます。

ひかりさんはのぞみさんよりおそいので、ひかりさんの線はのぞみさんの線より傾きがゆるくなります。さらに、のぞみさんが2回目・5回目にBへ着く時刻には別の道上で交わり、8回目にBへ着く時刻には同じ道上で重なるように線を引きます。

グラフから、同じ時刻におけるB到着回数は「のぞみ2回目とひかり1回目」「のぞみ5回目とひかり3回目」「のぞみ8回目とひかり5回目」と読めます。

（2）ひかりさんのB到着回数

• のぞみさんが2回目にBへ着くとき：ひかりさんは1回目
• のぞみさんが5回目にBへ着くとき：ひかりさんは3回目
• のぞみさんが8回目にBへ着くとき：ひかりさんは5回目

答え：1回目、3回目、5回目

（3）道ア・道イ・道ウの長さの比

道ア、道イ、道ウの長さをそれぞれ「ア」「イ」「ウ」と書き、3本の長さの合計を全体＝ア＋イ＋ウとします。

2回目のB到着を使う

この時刻までに、のぞみさんはア・イ・ウを1本ずつ進んでいるので、進んだ長さは「全体」です。一方、ひかりさんは1回目にBへ着いたところなので、進んだ長さは「ア」です。

8回目のB到着を使う

この時刻までに、のぞみさんは3本分のまとまりを5回進んでいるので「全体の5倍」、ひかりさんは3本分のまとまりを3回進んでいるので「全体の3倍」です。同じ時間で進んだ長さの比が速さの比になるため、のぞみ：ひかり＝5：3です。

したがって、2回目のB到着のときに進んだ長さから、全体：ア＝5：3となります。全体を5、アを3とすると、イ＋ウ＝5－3＝2です。

5回目のB到着を使う

のぞみさんは3本分のまとまりを3回進むので「全体の3倍」です。ひかりさんは3回目にBへ着くまでに、ア・イ・ウ・ア・イと進むので、進んだ長さは全体＋ア＋イです。

速さの比5：3を使うと、のぞみさんが15だけ進む間にひかりさんは9だけ進みます。よって、全体＋ア＋イ＝9、すなわち5＋3＋イ＝9なので、イ＝1です。イ＋ウ＝2でしたから、ウ＝1です。

答え：ア：イ：ウ＝3：1：1

（4）3人の速さの比

ここまでで、のぞみさんとひかりさんの速さの比は5：3と分かっています。

こだまさんが初めてAへ戻るまでに通るのは、道アと道イです。道の長さをア＝3、イ＝1、ウ＝1としたので、こだまさんが進んだ長さは3＋1＝4です。

このとき、のぞみさんとの出会いは3回目で、それ以前の2回はAでもBでもありません。グラフ上で出会いを順に数えると、このAでの出会いは、のぞみさんが3本の道を2巡してAへ戻ったときです。

のぞみさんが進んだ長さは、3本の合計5の2倍で、5×2＝10です。同じ時間に、のぞみさんが10、こだまさんが4進むので、のぞみ：こだま＝10：4＝5：2となります。

答え：のぞみ：ひかり：こだま＝5：3：2

（5）ひかりさんとこだまさんが初めて出会う場所

速さを、ひかりさん3、こだまさん2として考えます。道の長さはア＝3、イ＝1、ウ＝1です。

こだまさんが道ウを通ってBへ着くまでに進む長さは3＋1＋1＝5なので、かかる時間は5÷2＝2と1/2です。この時点で、ひかりさんは3×2と1/2＝7と1/2進んでいます。ひかりさんは、ア・イ・ウの合計5を進んだあと、道アをBからAへ2と1/2だけ戻っています。道アの長さは3なので、Aまであと1/2の位置です。

ここから2人の位置を順に追うと、初めて同じ道で向かい合うのは、ひかりさんが次にAから道アへ入り、こだまさんが道アをBからAへ進んでいるときです。

ひかりさんがAから道アへ入るのは、出発から3と1/3後です。そのとき、こだまさんは道ア上のAから1と1/3の位置にいます。2人の間の長さ1と1/3を、向かい合う速さ3＋2＝5で進むので、出会うまでの時間は1と1/3÷5＝4/15です。

ひかりさんがAから進む長さは3×4/15＝4/5です。道ア全体の長さは3ですから、Aからの割合は4/5÷3＝4/15となります。

答え：道アの、地点Aから4/15の地点

検算

ア：イ：ウ＝3：1：1、速さを5：3：2とすると、のぞみさんがBへ2回目・5回目・8回目に着くまでに進む長さは5、15、25です。同じ時間にひかりさんが進む長さは3、9、15となり、Bへの1回目・3回目・5回目の到着と一致します。

また、（5）の出会いまでの時刻は、3と1/3＋4/15＝3と3/5です。ひかりさんの道ア上の位置はAから4/5、こだまさんの位置も、Bから進んだ長さが3－4/5＝2と1/5なのでAから4/5です。位置が一致することを確認できます。

この問題の動画解説はこちら

動画授業を見る（開成2025 大問3）

大問4　正三角柱の切断面

正三角形を底面とする三角柱を平面で切り、切断面ABCの実際の形を調べる問題です。真上から見た形は実際の切断面そのものではありません。投影図で分かる角度と長さを、補助点K・H・Mを使って実際の三角形へ戻します。

最初に区別する2つの図

• 真上から見た図：点Aと点Kが重なって見えるため、見えている三角形ABCは三角形KBCとして考えます。
• 実際の切断面：点Aは底面の上にあり、AKは底面に垂直です。AB・ACは真上から見た長さより長くなります。

この2つを混ぜないことが、問題全体のいちばん大切なポイントです。

（1）空欄ア〜キ

ア・イ・ウ：三角形KBCの角

真上から見るとAとKが重なるので、三角形ABCの見かけの角90度・60度・30度は、三角形KBCの角になります。

• 角K＝90度
• 角B＝60度
• 角C＝30度

したがって、ア＝90、イ＝60、ウ＝30です。

エ：HKとCKの比

HはKからBCへ下ろした垂線の足です。三角形KHCはHが直角で、角Cが30度の直角三角形です。30度の向かい側の辺は斜辺の半分なので、

HK＝CK×1/2

となります。したがって、エ＝1/2です。

オ：三角形ABM・KBMの形

MはBCの中点です。直角三角形KBCでは、斜辺BCの中点MからK・B・Cまでの長さは等しくなります。また、角Cが30度なので、KBは斜辺BCの半分です。

よって、

KB＝BM＝KM

となり、真上から見た三角形ABM、つまり三角形KBMは正三角形です。したがって、オ＝正です。

カ：HCとHBの比

三角形KBMは正三角形で、KHは辺BMへ下ろした垂線です。正三角形の頂点から下ろした垂線は、向かい側の辺を半分に分けるので、

HB＝HM

です。またMはBCの中点なので、

BM＝MC

です。HB＝HMを1とするとBM＝2、したがってMC＝2です。

HC＝HM＋MC＝1＋2＝3

よって、HCはHBの3倍です。したがって、カ＝3です。

キ：HKとQRの比

長方形QTURを真上から見ると、BとCは左右の長い辺上にあり、MはBCの中点なので中央の線上にあります。Kも同じ中央の線上にあります。

正三角形KBMで、KからBMへ下ろした高さがKHです。この高さは、左右の辺の間隔QRのちょうど半分になります。

HK＝QR×1/2

したがって、キ＝1/2です。

答え：ア 90、イ 60、ウ 30、エ 1/2、オ 正、カ 3、キ 1/2

（2）三角形AHK・ABCと合同な三角形の作図

作図では、見た目をまねるのではなく、（1）で確定した長さと角度を順に移します。

三角形AHKの作図

1. HKを、正三角形PQRの一辺QRの半分に取ります。
2. KからHKに垂直な線を引きます。
3. その垂線上に、正三角形PQRの高さと等しくなるようAKを取ります。
4. AとHを結びます。

これで、Kが直角、HKがQRの1/2、AKが正三角形PQRの高さである三角形AHKができます。

三角形ABCの作図

1. まず真上から見た三角形KBCを、角K＝90度、角B＝60度、角C＝30度、HK＝QRの1/2となる大きさで作ります。
2. AKには、正三角形PQRの高さを使います。
3. AKとKBを直角に置いた三角形から実際のABを取り、AKとKCを直角に置いた三角形から実際のACを取ります。
4. BCを引き、Bを中心に半径AB、Cを中心に半径ACの弧をかきます。2つの弧の交点をAとして、AとB、AとCを結びます。

この方法なら、投影図の短いAB・ACをそのまま写さず、実際の長さを使った合同な三角形ABCになります。

検算

QRを1とすると、HK＝1/2、AKは正三角形の高さです。したがって三角形AHKは、短い辺・長い辺・斜辺が正三角形の半分を使った30度・60度・90度の直角三角形になります。

また、真上から見た三角形KBCでは、KB＝BM＝KMとなるため三角形KBMは正三角形です。HはBMの中点となり、HB：HC＝1：3が成立します。学校公表解答の空欄とすべて一致します。