大問1　速さ・面積・グラフ

Eから横に何cmかで考える

正方形の一辺は30cmで、E・F・G・Hは各辺の真ん中の点です。Eを左端、Gを右端として、P・Q・R・SがEから横に何cmの位置にあるかを考えます。それぞれの距離を p, q, r, s cmとします。

図1　正方形の一辺は30cm。PとQは上下の辺にあり、EGは正方形の高さの真ん中にある。

(1) ERのグラフ

折れ曲がる時刻だけを調べる

Pは秒速5cmで、HからDへ出発します。中点から頂点までは15cmなので最初の折り返しは3秒後。その後は一辺30cmを6秒で進むため、3, 9, 15, 21, 27秒…で折り返します。Qは秒速3cmでFからBへ出発し、最初は5秒後、その後は10秒ごとに5, 15, 25秒…で折り返します。

この9点を順に直線で結びます。たとえば0～3秒ではPが秒速5cmで右、Qが秒速3cmで左へ動くため、平均Rは右へ秒速 (5−3)÷2=1cm。3～5秒では両方が左へ進むので、Rは左へ秒速 (5+3)÷2=4cmです。この傾きの確認をすると、点の打ち間違いを発見できます。

図2　0～30秒は公式解答と一致。PとQが同時に出発位置へ戻るのは60秒後。

(2) 三角形EPQの面積が300cm²

面積をERだけで表す

線分ERで△EPQを△EPRと△EQRに分けます。共通の底辺をERと見ると、PからEGまでの高さもQからEGまでの高さも15cmです。2つの面積を足して、

面積が300cm²となる条件は、15×ER=300、つまりER=20cmです。図2の赤い水平線との交点を読めば済みます。

(a) 0～30秒

ER=20となるのは、9～15秒の上り坂と15～21秒の下り坂です。

1. 9～15秒ではERは6cmから毎秒4cmずつ増える。
   9+(20−6)÷4=12.5秒
2. 15～21秒ではERは30cmから毎秒4cmずつ減る。
   15+(30−20)÷4=17.5秒

(b) 30～60秒

30秒後にはPもQも出発位置と左右反対の動きをするため、後半のグラフは前半を上下反転した形、すなわち r(t+30)=30−r(t) になります。後半でER=20となるのは、前半でER=10となった時刻に30秒を加えたときです。

前半でER=10となるのは5秒、10秒、20秒、25秒。したがって35秒、40秒、50秒、55秒です。

(3) 三角形PQSの面積が300cm²

今度は「SとRの間の長さ」が底辺

線分SRで△PQSを△PRSと△QRSに分けます。どちらも底辺をSRと見ると、高さは15cmです。したがって、

面積を300cm²にするには、SRの長さが300÷15=20cmになればよいとわかります。つまり、グラフではESとERの差が20cmになるところを探します。

SはEG上を秒速2cmで往復するので、0, 15, 30, 45, 60秒でのESは順に0, 30, 0, 30, 0cmです。ERのグラフと重ね、2本のグラフの上下の間が20cmになる場所を探します。

図3　差が20cmになるのは45秒の直前と直後の2か所だけ。

43 1/3秒後の計算

40秒時点ではER=20cm、ES=20cmで一致しています。40～45秒ではERは毎秒4cmずつ減り、ESは毎秒2cmずつ増えるので、2点間の差は毎秒6cmずつ広がります。差が20cmになるまで20÷6=3 1/3秒。したがって、40+3 1/3=43 1/3秒です。

46 2/3秒後の計算

45～50秒では、ERは0cmから毎秒4cmずつ増え、ESは30cmから毎秒2cmずつ減ります。差は毎秒6cmずつ縮みます。30cmの差を20cmにするには10÷6=1 2/3秒かかるので、45+1 2/3=46 2/3秒です。

検算と学習ポイント

• 動点は折り返し時刻を先に表にする。
• 中点との交点は平均になる。 本問最大の発見。
• 面積条件を距離条件へ変える。 300cm² ⇔ 20cm。
• 後半は周期と対称性を利用する。 すべてを最初から描き直さない。

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大問2　数字カードと分数

(1) 1つの分数を最も大きくする

分数を大きくするには、上の4けたを大きくし、下の2けたを小さくします。使える数字は1から9で、同じ数字は2回使えません。

1と2を使ったので、残りの3から9までの数字から大きい4個を選び、大きい順に並べます。分子は9876です。

図1　小さい分母12を先に作り、残った数字で最大の分子9876を作る。

(2)(a) 2つの分数の和を最も大きくする

まず、4けた÷2けたの分数を大きくしたいので、やはり分母12を使うのが有利です。ただし、(1)と同じ9876÷12にすると、残る数字は3・4・5です。2つ目を最大にしても54÷3=18なので、和は823+18=841です。

そこで、1つ目の分子から7を残し、代わりに4を入れて9864にします。残った3・5・7からは75÷3=25を作れます。

図2　7を2つ目へ回すと、1つ目は1だけ減るが、2つ目は7増える。

なぜこれが最大なのか

数字1を2つ目の分母に使うと、1つ目の分母は小さくても23です。この場合は、両方を大きめに見積もっても9876÷23＋98より小さく、528を超えません。

数字1を1つ目の分母に使いながら12を作らない場合、1つ目の分母は13以上です。2つ目の分母は2以上なので、両方を大きめに見積もっても9876÷13＋98÷2より小さく、809を超えません。数字1を分子に使う場合は、これよりさらに小さくなります。したがって、847を作るには1つ目の分母を12にしなければなりません。

分母12を決めたあと、2つ目の分母として3から9を順に調べると、最大は次のようになります。

(2)(b) 和が17より小さくなる1通り

2つの分数はどちらも正の数です。したがって、最初の4けた÷2けたも17より小さくなければいけません。

2けたの数は最大でも98なので、右側は98×17=1666です。よって4けたの数は1666より小さく、千の位は必ず1になります。

2けたの分母を大きくしていく

1つ目を小さくするには、4けたの分子を小さくし、2けたの分母を大きくします。分母の十の位を1から9まで分け、残った数字で2つ目もできるだけ小さくして調べます。

図3　分母の十の位が8以下では、最小にしても17以上。9の場合だけ17未満になる。

分母の十の位が9の場合も、残りの数字の置き方を小さい順に確認します。すると、17より小さくなるのは次の入れ方だけです。

24÷8=3なので、

97×17=1649です。1647は1649より2小さいので、この和は確かに17より小さくなります。

検算と学習ポイント

• 大きくしたい：分子を大きく、分母を小さくする。
• 小さくしたい：分子を小さく、分母を大きくする。
• 2つの和：片方だけでなく、数字を移したときの全体の増減を見る。
• 「1通り」を示す：分母の十の位などで分け、もれなく調べる。

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大問3　立方体の切断と体積

まず、立方体の中身を整理する

黒い三角柱Xと白い三角柱Yを1個ずつ合わせると、底面が2cm×2cm、高さが8cmの四角い柱になります。この組を縦4列、横4列に並べると、8cm×8cm×8cmの立方体になります。

(1) 切り口に現れる黒い部分

切り口は正三角形ABC

辺ABは立方体の前の面にある正方形の対角線、辺BCは右の面の対角線、辺CAは上の面の対角線です。どれも1辺8cmの正方形の対角線なので、3辺の長さは同じです。したがって、切り口ABCは正三角形になります。

なぜ黒い部分が長方形になるのか

立方体の中で、黒と白の境目はすべて縦向きの平らな面です。その面を、ななめの切断面で切ると、切り口にはまっすぐな線が現れます。上から見た黒いひし形4個のうち、三角形ABCの真下にある部分を切り口へ移すと、黒い部分は3つの長方形になります。

図1　各辺の8等分の点を目印にすると、3つの長方形の位置を正確に決められる。

(2) 立体Wにある黒い部分の体積

立体Wは、上から見て対角線ACよりD側

切断面は上の面と辺ACで交わります。点Dをふくむ立体Wは、上から見ると対角線ACよりD側にあります。黒いひし形と重ねると、Wに残る黒い部分は次の3か所です。

図2　左上と右下はひし形の半分、右上はひし形1個全部がW側にある。

切断面から上の面までの厚さ

辺AC上では、切断面と上の面が重なるので厚さは0cmです。Dへ近づくほど厚くなり、Dでは8cmになります。切断面は平らなので、厚さは途中で急に変わらず、同じ割合で増えます。

図3　厚さが同じ割合で変わるので、両端の厚さの真ん中を使える。

検算と学習ポイント

• 立体を上から見る：黒い材料がどこにあるかを先に整理する。
• 切り口の形：同じ大きさの正方形の対角線3本なので正三角形。
• 切断後の体積：上から見た面積×平均の厚さ。
• 途中で切られる：元の三角柱の個数だけでは数えない。

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動画授業を見る（開成2026 大問3）

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大問4　正六角形の頂点と三角形

同じ大きさの正六角形7個をすき間なく並べます。24個の頂点から3点を選び、4つの条件をすべて満たす三角形を、形ごとに数える問題です。

準備　先に4つの条件をふるいにかける

3点を選べば何でもよいわけではありません。次の順に調べると、数えなくてよい形を早く取り除けます。

1. 3つの角が、すべて正六角形の頂点か。
2. 三角形の辺が、もとの正六角形の辺と重なっていないか。
3. 三角形の辺の途中に、ほかの頂点がないか。
4. 三角形の内側にある頂点が、ちょうど1個か。

図1　PとQは、まわりの形が異なる2種類の「内側の点」を代表している。

(1) 正三角形A

面積

Aを格子の線にそって小さい三角形に分けると、面積1cm²の正三角形3個分です。

個数

Aの内側にある1点を先に決めます。内側の点になれる場所は2種類あり、それぞれ回転させると6か所ずつあります。どちらの場所でも、Aと同じ正三角形は1個ずつできます。

(2) 二等辺三角形B

(a) 面積

Bも同じものさしで分けて数えると、小さい正三角形5個分です。

(b)(c) PとQを内側にする個数

内側の点をPに固定し、Bと同じ形を回しながら置いて4条件を調べると3個残ります。Qに固定した場合は2個残ります。図では、同じ場所に重なる三角形を色分けしています。

図2　辺の途中で別の黒い点を通る置き方や、もとの六角形の辺を使う置き方は除く。

(d) Bと同じ形の総数

Pと同じ位置関係の点は、図全体を60度ずつ回して6個あります。Qと同じ位置関係の点も6個あります。三角形の内側の点は必ず1個なので、同じ三角形を2回数える心配はありません。

(3) AともBとも同じ形でない三角形

条件を満たす三角形を、3辺の長さの組で仲間分けします。すると全部で4種類です。正三角形A、二等辺三角形Bを除くと、残りは2種類だけです。

図3　紫と緑が、(3)でかく三角形の例。必要な3辺だけを実線で示した。

面積5cm²の別の形

P型の点を内側にすると6個、Q型の点を内側にすると2個できます。

面積4cm²の別の形

P型の点を内側にすると6個、Q型の点を内側にすると4個できます。

図4　4種類を同じ方法で数えた一覧。合計は12＋30＋48＋60＝150個。

検算と学習ポイント

• 面積：正六角形の6分の1を1cm²として数える。
• 個数：三角形を先に探さず、内側に入る1点を先に決める。
• 合同：回す・ずらす・裏返すと重なるものは同じ形。
• 見落とし防止：辺の途中に別の頂点がないかを必ず確認する。

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